当公司终止劳动关系时，赔偿的具体方式和金额主要依据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规来确定。以下是对这一问题的详细解答：

一、公司无需支付赔偿的情形

若劳动者存在以下过错，公司有权解除劳动合同且无需承担经济补偿：

1. 试用期间不符合录用条件；
2. 严重违反公司规章制度；
3. 严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害；
4. 与其他公司建立劳动关系，对本单位工作造成严重影响或拒不改正；
5. 以欺诈、胁迫手段或乘人之危订立或变更劳动合同，导致合同无效；
6. 被依法追究刑事责任。

在这些情况下，公司解除劳动关系是合法的，因此无需支付赔偿。

二、公司需支付经济补偿的情形及标准

在以下情形中，公司解除劳动合同应向劳动者支付经济补偿：

1. 双方协商一致解除：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。

2. 无过失性辞退：如劳动者因病或非因工负伤，医疗期满后无法从事原工作或另行安排的工作；或劳动者不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任等情形，用人单位提前三十日书面通知或额外支付一个月工资后解除合同，经济补偿标准同上。

3. 经济性裁员：用人单位因经济原因需要裁减人员二十人以上或占企业职工总数百分之十以上的，应提前三十日向工会或全体职工说明情况并听取意见，裁员方案经劳动行政部门报告后实施，经济补偿标准与上述相同。

4. 劳动合同期满终止：除用人单位维持或提高条件续订合同而劳动者不同意续订的情形外，用人单位应支付经济补偿，标准按工作年限计算。

5. 用人单位被依法宣告破产或被吊销营业执照等：用人单位应按规定向劳动者支付经济补偿。

经济补偿的计算基数：以劳动者在劳动合同解除前十二个月的平均工资为准，月工资包含计时/计件工资、奖金、津贴补贴等货币性收入。若劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍，则按三倍数额支付，且支付年限最高不超过十二年。

三、公司违法解除需支付赔偿金的情形

若公司违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，如无故解雇或在员工处于孕期、产期、哺乳期等不得解除的期间解除劳动关系，公司应依照上述经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。例如，若劳动者应得经济补偿为三个月工资，则违法解除时用人单位应支付六个月工资的赔偿金。

四、额外注意事项

• 若公司未提前一个月通知员工即解雇，还需额外支付一个月工资作为代通知金。
• 在计算经济补偿或赔偿金时，应确保计算基数的准确性，包括所有货币性收入。
• 若解除合同前工作不足十二个月的，按实际工作月数计算平均工资。

综上所述，公司在终止劳动关系时，应根据具体情形判断是否需要支付经济补偿或赔偿金，并严格按照法律规定执行。这有助于维护劳动者的合法权益，也能确保公司的合法运营和稳定发展。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请咨询专业律师或劳动仲裁机构。