在处理公司解除劳动关系的赔偿问题时，我们确实需要细致分析不同情形下的具体责任与赔偿标准。以下是对这一问题的详细解答：
一、公司无需支付赔偿的情形
当劳动者存在以下过错时，公司有权解除劳动合同且无需承担经济补偿：
- 试用期间不符合录用条件：若劳动者在试用期内未能达到公司设定的录用标准，公司可以解除劳动合同。
- 严重违反公司规章制度：劳动者若严重违反公司规章制度，公司有权解除劳动合同。
- 严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害：劳动者因严重失职或营私舞弊行为导致公司遭受重大损失，公司可以解除劳动合同。
- 与其他公司建立劳动关系，对本单位工作造成严重影响或拒不改正：若劳动者同时与其他公司建立劳动关系，且对本单位工作造成严重影响或经公司提出后拒不改正，公司可以解除劳动合同。
- 以欺诈、胁迫手段或乘人之危订立或变更劳动合同，导致合同无效：若劳动者通过欺诈、胁迫等手段订立或变更劳动合同，导致合同无效，公司可以解除劳动合同。
- 被依法追究刑事责任：若劳动者被依法追究刑事责任，公司可以解除劳动合同。
二、公司需支付经济补偿的情形及标准
在以下情形中，公司解除劳动合同应向劳动者支付经济补偿：
- 双方协商一致解除：当用人单位提出并与劳动者协商一致解除劳动合同时，用人单位需支付经济补偿。
- 劳动者因病或非因工负伤，医疗期满后无法从事原工作或另行安排的工作：若劳动者因病或非因工负伤，在医疗期满后无法从事原工作或公司另行安排的工作，公司可以解除劳动合同并支付经济补偿。
- 劳动者不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任：若劳动者不能胜任工作，经过培训或调整岗位后仍不能胜任，公司可以解除劳动合同并支付经济补偿。
- 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，无法履行且未达成变更协议：若劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且双方未能就变更合同内容达成协议，公司可以解除劳动合同并支付经济补偿。
- 公司因破产重整、生产经营困难、转产等技术革新或经营方式调整需裁减人员：在这些情况下，公司可以裁减人员并支付经济补偿。
- 劳动合同期满，除用人单位维持或提高条件续订而劳动者不同意的情况外：若劳动合同期满，且用人单位未维持或提高条件续订劳动合同，而劳动者不同意续订，公司应支付经济补偿。
- 用人单位被依法宣告破产、吊销营业执照、责令关闭、撤销或提前解散：在这些情况下，公司应支付经济补偿。
经济补偿的计算标准：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。若劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍，则按三倍数额支付，最高不超过十二年。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
三、公司违法解除需支付赔偿金的情形
若公司违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，如无故解雇或在员工处于孕期、产期、哺乳期等不得解除的期间解除劳动关系，公司应依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
四、额外注意事项
- 代通知金：若公司未提前一个月通知员工即解雇，还需额外支付一个月工资作为代通知金。
- 证据收集：劳动者在处理此类问题时，应注意收集相关证据，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等，以维护自己的合法权益。
- 法律途径：若双方就补偿问题无法协商一致，劳动者可通过劳动仲裁或诉讼等法律途径解决。
综上所述，公司在解除劳动关系时，应根据具体情形判断是否需要支付经济补偿或赔偿金，并严格按照法律规定执行。这不仅有助于维护劳动者的合法权益，也能确保公司的合法运营和稳定发展。