针对您提出的“私立幼儿园停办员工怎么补偿”的问题，这确实是一个涉及劳动者权益的重要议题。以下是我根据相关法律法规及实际案例，为您提供的详细解答：
首先，当私立幼儿园因各种原因（如招生不足、经营困难等）决定停办时，其与员工之间的劳动合同关系将面临解除。在此情况下，幼儿园作为用人单位，有义务按照相关法律法规对员工进行经济补偿。
一、经济补偿金的基本标准
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者解除劳动合同时，应当按照劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
二、特殊情况下的补偿
孕期、产期、哺乳期女职工： 对于处于孕期、产期、哺乳期的女职工，由于她们在生理上处于特殊时期，需要特别的保护。在幼儿园停办的情况下，如果双方协商解除劳动合同，女职工可以主张除了经济补偿金外，还应获得孕期、产期、哺乳期间的工资及生育医疗费用等补偿。但需要注意的是，这部分补偿在法律层面并无明确规定，实践中可能因地区、具体案情等因素而有所不同。因此，建议女职工在协商或仲裁、诉讼过程中，充分提供证据，以维护自己的合法权益。
未缴纳社会保险费的补偿： 如果幼儿园在员工工作期间未依法为其缴纳社会保险费，那么在解除劳动合同时，幼儿园除了支付经济补偿金外，还应承担相应的社会保险费补偿责任。这包括但不限于养老保险、医疗保险等。具体补偿金额和方式可能因地区政策、员工实际缴费情况等因素而有所不同。
三、实际案例参考
以您提供的两个案例为例：
在第一个案例中，周老师作为孕期女职工，在幼儿园停办后与幼儿园协商解除劳动合同。双方就经济补偿金达成一致，但对于孕期、产期、哺乳期间的工资及生育医疗费用等补偿存在争议。最终，在仲裁庭的调解下，双方达成调解方案，约定待孩子出生后再支付相关费用。
在第二个案例中，李老师因幼儿园未缴纳社会保险费而自行参保。在幼儿园停办后，李老师通过诉讼要求幼儿园支付经济补偿金及养老保险费损失。法院经审理后判决幼儿园支付相应的经济补偿和养老保险费损失。
四、建议
协商解决：在幼儿园停办的情况下，建议员工首先与幼儿园进行协商，尽量达成双方都能接受的补偿方案。
寻求法律援助：如果协商无果，员工可以寻求法律援助或咨询专业律师，了解自己的合法权益和维权途径。
保留证据：在协商或仲裁、诉讼过程中，员工应充分保留相关证据，如劳动合同、工资单、社保缴费记录等，以维护自己的合法权益。
综上所述，私立幼儿园停办时对员工的补偿应依据相关法律法规和实际情况进行。员工在维护自己合法权益的同时，也应保持理性、合法的态度，通过协商、仲裁或诉讼等途径解决问题。