关于申请履行法定职责的答复期限，这主要取决于具体的法律规定和行政机关的履职情况，以下从多个角度为你详细分析：

1. 一般原则下的答复期限

   • 根据《中华人民共和国行政复议法》及相关规定，公民、法人或其他组织认为行政机关不履行法定职责侵犯其合法权益的，通常可以自知道或应当知道该不作为行为之日起六十日内提出行政复议申请（法律另有规定的除外）。这里的“六十日”是一个一般性的期限，适用于大多数情况。
   • 举例说明：如果你向某行政机关提交了申请，要求其履行某项法定职责，但行政机关在法定期限内未予答复或未履行，你从知道或应当知道该不作为行为之日起六十日内，可以向相关行政复议机关提出复议申请。

2. 特殊情况下的答复期限

   • 明确履职期限的情况：如果法律、法规、规章或其他规范性文件对行政机关履行法定职责有明确的期限规定，行政机关超过该期限仍未履行职责的，答复期限（即复议申请期限）从你知道或应当知道该不作为行为之日起计算，原则上也是六十日（法律另有规定的除外）。
   • 紧急情况下的处理：在紧急情况下，如公民遭遇正在发生的暴力侵害向公安机关求救而公安机关无故拖延不出警，此时虽无明确“知道不作为”的时间点，但申请人可基于紧迫性立即申请行政复议，不受六十日限制（但需注意后续可能需补充证明材料说明紧急情况及知道不作为的合理性）。
   • 不可抗力或其他正当理由：因不可抗力或者其他正当理由耽误法定申请期限的，申请期限自障碍消除之日起继续计算。

3. 未告知申请复议权利的情况

   • 如果行政机关作出不作为行为时，未告知你申请行政复议的权利、行政复议机关和申请期限的，申请期限自你知道或者应当知道申请行政复议的权利、行政复议机关和申请期限之日起计算，但是自你知道或者应当知道行政行为内容之日起最长不得超过一年。

法律建议：

• 在申请行政机关履行法定职责时，建议明确了解相关法律法规对履职期限的规定，以便及时维护自己的合法权益。
• 如果行政机关未在法定期限内履行职责，且你打算提出行政复议申请，请务必注意申请期限的计算，避免错过申请时机。
• 在紧急情况下或遇到不可抗力等特殊情况时，及时咨询专业律师（即我，冯湃律师，专注于婚姻家庭、离婚领域，但在此类行政法律问题上同样能提供专业帮助），以确保你的申请合法有效。

总结：申请履行法定职责的答复期限并非固定不变，而是根据具体情况和法律规定来判断。如果你在此过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。