结论前置：在雇佣过程中，若雇员因执行工作任务造成第三人损害，一般由雇主承担侵权责任；若雇员因第三人行为遭受损害，雇员有权选择向第三人请求侵权赔偿，或向雇主请求补偿，雇主在补偿后享有对第三人的追偿权。以下是对此问题的详细解析：

一、雇员造成第三人损害，雇主的责任

1. 一般原则：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位（即雇主）承担侵权责任。这是基于雇主对雇员在工作过程中的行为负有监督和管理责任的原则。
   • 雇主承担侵权责任后，如果雇员存在故意或者重大过失，雇主可以向雇员追偿。这体现了过错责任原则在雇主与雇员之间的内部关系中的应用。

2. 特殊情况：

   • 在劳务派遣期间，被派遣的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由接受劳务派遣的用工单位承担侵权责任；如果劳务派遣单位有过错，如未尽到对被派遣人员的选任、培训等义务，则劳务派遣单位也需承担相应的责任。

二、雇员因第三人行为遭受损害，责任如何承担

1. 第三人责任：

   • 作为直接侵权方，第三人应承担侵权责任，赔偿雇员因此遭受的损失，包括但不限于医疗费、误工费、护理费等。

2. 雇主的责任与选择权：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十二条，提供劳务期间，因第三人的行为造成提供劳务一方（即雇员）损害的，提供劳务一方有权请求第三人承担侵权责任，也有权请求接受劳务一方（即雇主）给予补偿。
   • 这意味着雇员在遭受第三人损害时，有权选择向第三人索赔或向雇主请求补偿。如果雇员选择向雇主请求补偿，雇主在补偿后有权向第三人追偿，以弥补自己的损失。

3. 特殊情况的考虑：

   • 如果发包人、分包人知道或应当知道接受发包或分包业务的雇主无相应资质或安全生产条件，仍发包或分包的，应与雇主承担连带赔偿责任。这体现了法律对发包人、分包人在选任雇主时的审慎义务要求。

三、实际案例与操作建议

• 实际案例：假设一名雇员在执行工作任务时，不慎撞伤了第三人。根据法律规定，应由雇主承担对第三人的赔偿责任。如果雇员存在故意或重大过失，雇主在赔偿后可以向雇员追偿。另一方面，如果雇员在执行工作任务时被第三人撞伤，雇员可以选择向第三人索赔或向雇主请求补偿。如果雇主先行补偿了雇员的损失，雇主有权向第三人追偿。

• 操作建议：

  • 对于雇主而言，应加强对雇员的培训和管理，确保雇员在工作过程中遵守法律法规和操作规程，减少因雇员行为导致的第三人损害风险。
  • 对于雇员而言，在遭受第三人损害时，应及时收集并保存相关证据（如事故现场照片、医疗记录、证人证言等），以便在后续索赔或请求补偿时提供有力支持。
  • 在处理此类纠纷时，建议雇主和雇员都咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到充分保障。

综上所述，在雇佣过程中涉及雇员造成第三人损害或雇员因第三人行为遭受损害的责任承担问题，需根据具体情况和法律规定进行综合判断。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。