结论概述：员工私自外出意外死亡，公司是否有责任需视具体情况而定，主要取决于员工外出行为是否与工作相关以及公司是否尽到了相应的管理义务。
详细分析：
员工外出行为与工作相关性：
- 若员工外出行为与工作直接相关：例如，员工因工作需要外出办理事务，在此过程中发生意外死亡，那么公司通常需要承担一定的责任。这是因为员工是在执行工作任务过程中受到伤害，符合工伤的认定条件。根据《工伤保险条例》的相关规定，员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。虽然此案例中员工是“私自外出”，但如果其外出行为实质上是为了完成工作任务，且公司未能提供充分证据证明员工行为属于擅自离岗，公司仍可能需承担工伤赔偿责任。
- 若员工外出行为与工作无关：例如，员工在工作时间擅自离岗，去处理个人事务，在此过程中发生意外死亡，那么公司通常不需要承担责任。因为此时员工的行为并非在执行工作任务，也不符合工伤的认定条件。
公司管理义务的履行情况：
- 公司已尽管理义务：如果公司有明确的规章制度，规定员工在工作时间不得擅自离岗，且已对员工进行了相应的培训和教育，员工仍然擅自外出并发生意外，那么公司可能因已尽管理义务而免除或减轻责任。但需要注意的是，即使公司已尽管理义务，如果员工行为与工作存在间接关联（如员工因工作疲劳而外出休息），公司仍可能需承担一定的道义或补偿责任。
- 公司未尽管理义务：如果公司没有明确的规章制度，或者虽有规章制度但未对员工进行有效培训和教育，导致员工擅自外出并发生意外，那么公司可能因未尽管理义务而承担一定的责任。这种责任可能表现为对员工家属的补偿或赔偿，具体数额需根据实际情况和法律规定进行判定。
法律建议：
- 对于公司：建议公司建立完善的规章制度，明确员工在工作时间的行为规范，并对员工进行定期的培训和教育。同时，公司应加强对员工的管理和监督，确保员工遵守规章制度，减少类似事件的发生。如果发生员工私自外出意外死亡的情况，公司应积极配合相关部门进行调查，并根据实际情况和法律规定承担相应的责任。
- 对于员工家属：如果认为公司应承担责任，建议收集相关证据（如员工外出时的监控录像、同事证言等），以证明员工外出行为与工作相关或公司未尽管理义务。然后，可以与公司协商赔偿事宜，或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，甚至向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
可能法律后果：
- 如果公司被认定需要承担责任，可能面临对员工家属的赔偿或补偿，具体数额需根据实际情况和法律规定进行判定。
- 如果公司被认定不需要承担责任，但出于道义或社会舆论压力，可能会选择对员工家属进行一定的补偿或慰问。
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