结论前置：员工怀孕期间一直请病假，公司一般不可以随意开除。但在特定情形下，如员工严重违反公司规章制度或双方协商一致等，公司可以合法辞退。
法律保护依据与原则
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，女职工在孕期、产期、哺乳期内，用人单位不得依照该法第四十条（如不能胜任工作）和第四十一条（如经济性裁员）的规定解除劳动合同。这一规定旨在保护女性在特殊生理时期的合法权益，确保她们不因生育而失去工作保障。
不可随意开除的情形及具体说明
医疗期内：如果员工因怀孕相关并发症或其他健康问题需要请病假，并且能够提供真实有效的医疗证明，那么公司应按照相关规定给予其合理的病假待遇，包括支付病假工资或疾病救济费。在此期间，公司不得以员工处于病假期间不能正常工作为由解除劳动合同。
协商调整：即使员工的长期病假给公司的正常运营带来困扰，公司也应与员工进行协商，寻求妥善的解决方案，如调整工作岗位、工作内容或工作时间等，以适应其身体状况。
可以开除的情形及法律依据
尽管法律对孕期女职工提供了特殊保护，但在以下特定情况下，公司仍可以合法辞退员工：
严重违反公司规章制度：如员工存在提供虚假病假证明、严重失职、营私舞弊等行为，且公司有充分证据证明其违规行为的严重性，以及规章制度的制定和执行符合法定程序，那么公司可以依据合法有效的规章制度辞退该员工，且无需支付经济补偿金。
双方协商一致：如果员工与公司就解除劳动合同达成一致意见，那么公司可以依法辞退员工，并根据具体情况决定是否支付经济补偿金。
其他法定情形：包括员工主动提出解除劳动合同、员工被依法追究刑事责任等情形，公司也可以依法辞退员工。
公司违法辞退的后果
如果公司违反法律规定辞退怀孕期间的员工，员工有权要求公司继续履行劳动合同，恢复工作岗位，并支付相应的工资待遇。若员工不要求继续履行劳动合同或劳动合同已无法继续履行，公司应依照法律规定支付赔偿金，赔偿金标准通常为经济补偿标准的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
综合建议
在处理员工怀孕期间开病假及可能涉及的辞退问题时，公司应严格遵守相关法律法规，充分考虑员工的特殊情况，并确保决策的合理性和合法性。如遇复杂情况或需要具体法律建议，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律分析和建议。