针对您提出的“工厂未给员工签订劳动合同怎么补救”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
一、员工应如何维权
收集证据证明劳动关系：
- 首要任务是收集能够证明您与工厂之间存在劳动关系的证据。这些证据包括但不限于工资支付凭证（如银行转账记录、工资条）、工作证件（如工作证、服务证）、考勤记录（纸质或电子考勤表）、同事证言（最好能出庭作证）以及工作相关文件（如业务邮件、客户订单等）。
与工厂协商补签劳动合同：
- 在收集了足够证据后，您可以尝试与工厂负责人或人力资源部门进行沟通，明确提出签订劳动合同的要求。在协商过程中，您可以强调劳动合同的法律重要性，以及它对双方权益的保障作用。如果工厂同意签订，那么问题就得到了解决。
向劳动监察部门投诉：
- 如果协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉。投诉时，请务必提供能够证明劳动关系的证据。劳动监察部门将进行调查，并根据调查结果对工厂进行相应的处理，包括责令改正和可能的行政处罚。
申请劳动仲裁：
- 若劳动监察部门的处理未能满足您的诉求，您可以在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内，向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。申请时，请准备仲裁申请书、证明劳动关系的证据等材料。若工厂自用工之日起超过一个月不满一年未与您签订劳动合同，您有权要求工厂支付从第二个月开始的双倍工资作为赔偿。
提起诉讼：
- 如果对仲裁结果不满意，您可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。通过法院的判决来最终维护自己的合法权益。
寻求专业法律帮助：
- 在整个维权过程中，我建议您咨询专业的律师或法律援助机构。他们可以提供具体的法律建议，帮助您更好地了解自己的权益和可行的解决方案。
二、工厂应如何补救
及时补签劳动合同：
- 工厂应认识到未签订劳动合同的严重性，并在员工提出要求后尽快补签。补签时，请确保合同内容符合法律法规规定，充分保障员工的合法权益。
支付双倍工资赔偿：
- 如果工厂自用工之日起超过一个月不满一年未与员工签订劳动合同，那么按照《劳动合同法》的规定，工厂应向员工支付自用工之日起超过一个月不满一年期间的双倍工资作为赔偿。工厂应及时支付以避免更严重的法律后果。
完善用工管理制度：
- 工厂应加强对劳动法律法规的学习和理解，完善用工管理制度，规范劳动合同的签订流程。例如，可以在新员工入职时即签订劳动合同，并建立健全员工档案管理，妥善保存劳动合同等相关文件。
三、总结与建议
工厂未与员工签订劳动合同不仅损害了员工的合法权益，也给工厂自身带来了法律风险。因此，我建议双方都应依法行事：员工应积极维权，通过合法途径维护自己的权益；工厂则应及时补救，完善管理制度，以避免法律风险和处罚。在整个过程中，保持冷静和理智，寻求专业法律帮助是非常重要的。希望这些建议能对您有所帮助。