结论前置：根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条（及第二百条，两者内容相同）的规定，当事人申请再审需符合以下十三项情形之一。
具体再审事由及解析：
有新的证据，足以推翻原判决、裁定的：
- 新证据指原审庭审结束后新发现的，或因客观原因在原审程序中无法提供，但足以推翻原判决、裁定的证据。例如，在合同纠纷中，原审后发现了关键合同的补充协议，该协议内容足以改变原判决结果。
原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明的：
- 基本事实是对原判决、裁定结果有实质影响的事实。若这些关键事实在原审中缺乏足够的证据支持，则判决、裁定可能存在错误。例如，在侵权纠纷中，原审认定被告存在过错，但缺乏直接证据证明被告的行为与损害结果之间的因果关系。
原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的：
- 伪造的证据不具有真实性和合法性，基于此类证据作出的判决、裁定必然是错误的。例如，在借贷纠纷中，原审依据伪造的借条作出判决，后经鉴定该借条系伪造。
原判决、裁定认定事实的主要证据未经质证的：
- 质证是查明证据真实性、关联性和合法性的重要程序。主要证据未经质证，则不能作为认定案件事实的依据。例如，在离婚纠纷中，原审未对关键财产证明进行质证即作出判决。
对审理案件需要的主要证据，当事人因客观原因不能自行收集，书面申请人民法院调查收集，人民法院未调查收集的：
- 对于当事人因客观原因不能自行收集的主要证据，若书面申请人民法院调查收集而法院未依法进行，导致影响案件关键事实认定的，当事人可申请再审。例如，在环境污染纠纷中，关键的环境监测数据需由专业机构出具，当事人无法自行收集，申请法院调查但法院未予调查。
原判决、裁定适用法律确有错误的：
- 包括适用的法律与案件性质明显不符、确定民事责任明显违背法律规定、适用已经失效或尚未施行的法律等情形。例如，在合同纠纷中，原审错误地适用了已废止的法规作为判决依据。
审判组织的组成不合法或者依法应当回避的审判人员没有回避的：
- 审判组织的组成必须符合法律规定，依法应当回避的审判人员未回避的，可能影响案件公正审判。例如，在继承纠纷中，原审审判长与一方当事人存在亲属关系但未回避。
无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼或者应当参加诉讼的当事人，因不能归责于本人或者其诉讼代理人的事由，未参加诉讼的：
- 无诉讼行为能力人需由法定代理人代为诉讼，若未经代理或应参加诉讼的当事人因不可归责于本人及其诉讼代理人的原因未能参加诉讼，可作为再审事由。例如，在未成年人侵权纠纷中，原审未通知未成年人的法定代理人参加诉讼。
违反法律规定，剥夺当事人辩论权利的：
- 辩论权是当事人的重要权利，若法院限制当事人的辩论时间或不允许发表辩论意见，导致辩论权利被剥夺，当事人可以申请再审。例如，在商业秘密纠纷中，原审未给予当事人充分的辩论时间。
未经传票传唤，缺席判决的：
- 未经传票传唤即对当事人作出缺席判决，违反法定程序，当事人有权申请再审。例如，在债务纠纷中，原审未向被告送达传票即作出缺席判决。
原判决、裁定遗漏或者超出诉讼请求的：
- 法院判决、裁定应基于当事人的诉讼请求，若遗漏部分请求或超出请求范围裁判，都属于违反法定程序，当事人可申请再审。例如，在劳动争议纠纷中，原审遗漏了当事人关于加班费的诉讼请求。
据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或者变更的：
- 原判决、裁定依据的法律文书若被撤销或变更，则建立在该文书基础上的判决、裁定也可能存在错误，当事人可申请再审。例如，在确认合同效力纠纷中，原审依据的另一生效判决被撤销。
审判人员审理该案件时有贪污受贿，徇私舞弊，枉法裁判行为的：
- 审判人员在审理案件过程中存在贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等行为的，当事人有权申请再审。例如，在商业贿赂纠纷中，原审审判人员收受当事人贿赂并作出枉法裁判。
申请再审的注意事项：
- 当事人必须在判决、裁定及调解书生效后6个月内提出再审申请。对于特定情形（如新证据、伪造证据、法律文书被撤销或变更、审判人员违法违纪等），应自知道或应当知道之日起6个月内提出。
- 当事人应向有管辖权的人民法院申请再审。通常可以向上一级人民法院提出，但在当事人一方人数众多或双方均为公民的情况下，也可以向原审人民法院申请。
- 当事人申请再审时，应提交再审申请书，并记明再审申请人与被申请人及原审其他当事人的基本信息、原审人民法院的名称、原审裁判文书案号、具体的再审请求、申请再审的法定情形及具体事实、理由。
再审申请的审查与处理：
- 人民法院将在收到再审申请书后5日内将副本发送对方当事人，并要求对方当事人在15日内提交书面意见。
- 人民法院将根据需要要求申请人和对方当事人补充材料或询问有关事项。审查期限通常为3个月。
- 若认为再审事由成立且符合申请再审条件，将裁定再审；若认为再审事由不成立或不符合申请再审条件，将裁定驳回再审申请。
综上所述，当事人在申请再审时应充分了解并遵循相关法律法规，确保申请材料的完整性和准确性，以提高再审申请的成功率。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。