劳务派遣员工在以下情况下可以申请补偿，具体分为以下几种情形：

1. 劳动合同解除或终止时，派遣单位未依法支付经济补偿
   根据《劳动合同法》第四十六条、第四十七条，若劳务派遣员工因以下原因离职，派遣单位需支付经济补偿：

   • 派遣单位提出解除劳动合同，且与员工协商一致；
     
   • 员工因派遣单位未提供劳动条件、未及时支付劳动报酬等违法行为被迫离职；
     
   • 劳动合同期满，派遣单位不同意续订或降低条件导致员工不续订；
     
   • 派遣单位被依法宣告破产、吊销营业执照等导致劳动合同终止。
     补偿标准：按员工在派遣单位的工作年限，每满1年支付1个月工资（不满6个月支付半个月工资）。

2. 用工单位违法退回员工，导致劳动合同被解除
   若用工单位因《劳务派遣暂行规定》第十二条以外的理由（如歧视、非法定事由）退回员工，且派遣单位因此解除劳动合同，员工可要求派遣单位支付违法解除赔偿金（经济补偿标准的2倍），并可追究用工单位连带责任。

3. 派遣单位或用工单位未履行法定义务，造成员工损害

   • 同工同酬权益受损：若员工与用工单位同岗位员工工资差距过大，可要求派遣单位补足差额，并可能主张额外赔偿；
     
   • 未缴纳社保或公积金：员工可要求派遣单位补缴，并可能通过劳动监察或诉讼主张赔偿；
     
   • 工伤或职业病：若派遣单位未依法缴纳工伤保险，员工可要求其承担全部工伤待遇（如医疗费、伤残补助金等）。

4. 派遣协议违法或无效，导致员工权益受损
   若派遣单位与用工单位签订的派遣协议违反法律强制性规定（如约定“员工工伤由员工自行承担”），员工可直接要求两单位承担连带赔偿责任。

操作建议：

• 员工应保留劳动合同、工资记录、退回通知等证据；
  
• 优先与派遣单位协商，协商不成可向当地劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁；
  
• 若涉及重大权益损害（如工伤、违法解除），建议及时委托律师介入，确保程序合法、赔偿到位。
  

如有具体案件细节，可进一步向我咨询，我会结合实际情况为您详细分析。