结论前置：公司三次警告后开除员工是否需要支付赔偿，主要取决于公司的规章制度是否合法有效、员工的违规行为是否属实且达到开除条件，以及开除程序是否合法。若公司开除行为合法，则无需支付赔偿；反之，则需支付相应的赔偿金或经济补偿。

详细分析

一、无需支付赔偿的情况

1. 规章制度合法有效且公示

   • 公司需有明确的规章制度，规定哪些行为属于违规行为及相应的处罚措施，包括达到几次警告可予以开除。这些规章制度应通过民主程序制定，并向劳动者公示或告知。若规章制度合法有效且已公示，员工也确实存在违规行为并达到了开除条件，公司开除员工则属于合法解除劳动合同，无需支付赔偿。
   • 举例：公司规章制度明确规定，员工在一年内累计旷工三次将给予警告处分，累计受到三次警告处分的将予以开除，且该规章制度经过了职工代表大会讨论通过并公示。若员工因旷工三次受到三次警告后被开除，公司无需支付赔偿。

2. 员工存在法定解除情形

   • 若员工存在《劳动合同法》规定的法定解除情形，如严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等，公司可以合法解除劳动合同且无需支付经济补偿。

二、需要支付赔偿的情况

1. 规章制度不合法或未公示

   • 如果公司的规章制度存在违法内容，或虽然有相关规定但未向员工公示或告知员工，那么该规章制度对员工不具有约束力。公司以三次警告为由开除员工属于违法解除劳动合同，需要支付赔偿金。
   • 举例：公司规定员工在工作期间不得使用社交媒体，否则给予警告处分，累计三次警告予以开除，但该规定未经过民主程序制定也未公示。若员工因此被开除，公司需支付赔偿金。

2. 警告缺乏事实依据或程序不当

   • 如果公司对员工的警告没有充分的事实依据，或者警告的程序不符合法律规定或公司自身的规章制度，那么这些警告可能是无效的。基于无效警告而作出的开除决定也属于违法解除劳动合同，公司需要支付赔偿金。
   • 举例：公司仅凭主管的口头陈述就对员工给予警告处分，在累计三次无依据的警告后开除员工。这种情况下，公司的开除行为缺乏事实依据，属于违法解除劳动合同，需要支付赔偿金。

3. 员工行为未达严重程度或公司存在过错

   • 若员工的行为虽被认定为违反公司规定，但并未达到严重程度，或者员工的行为是由于公司的过错导致（如工作环境存在安全隐患），公司也不能仅以三次书面警告为由开除员工，否则需承担相应的法律责任。

三、赔偿金的计算方式

• 经济补偿：依据《劳动合同法》第四十七条，按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

  • 计算公式：经济补偿 = 工作年限 × 月工资（工作年限不满6个月的按0.5个月计算，6个月以上不满1年的按1年计算）

• 赔偿金：若用人单位违反法律规定解除劳动合同，应按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

  • 计算公式：赔偿金 = 经济补偿 × 2
  • 举例：员工在公司工作了3年5个月，月工资为8000元，若公司违法解除劳动合同，应支付的赔偿金为 \(8000 \times 4 \times 2 = 64000\) 元（工作年限按4年计算，因为3年5个月超过3年半，按4年算）。

总结与建议

公司在处理三次警告后开除员工的问题时，应确保规章制度的合法性、有效性及执行程序的正当性，以避免不必要的法律风险和经济损失。同时，员工也应了解自身权益，若认为公司的开除行为违法或不合理，可以寻求法律帮助以维护自己的合法权益。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。