结论前置：公司三次警告后开除员工是否需要支付赔偿，取决于公司的规章制度是否合法有效、员工的违规行为是否属实且达到开除条件，以及开除程序是否合法。若公司开除行为合法，则无需支付赔偿；反之，则需支付相应的赔偿金或经济补偿。

详细分析

一、无需支付赔偿的情况

1. 规章制度合法有效且已公示

   • 公司需有明确的规章制度，规定哪些行为属于违规行为及相应的处罚措施，包括达到几次警告可予以开除。这些规章制度应通过民主程序制定，并向劳动者公示或告知。若规章制度合法有效且已公示，员工也确实因违规行为受到三次警告，公司开除员工则无需支付赔偿。
   • 举例：公司规章制度明确规定，员工在一年内累计旷工三次将给予警告处分，累计受到三次警告处分的将予以开除，且该规章制度经过了职工代表大会讨论通过并公示。若员工因旷工三次受到三次警告后被开除，公司无需支付赔偿。

2. 员工违规行为属实且达到开除条件

   • 公司对员工的每次警告都应有充分的事实依据，且员工的违规行为确实符合规章制度中规定的给予警告的情形。累计达到三次警告后，公司按规定开除员工属于合法解除劳动合同，无需支付赔偿。
   • 举例：公司规定员工无故迟到早退超过30分钟视为一次违规，给予警告处分，一年内累计三次警告将予以开除。若员工在一年内多次无故迟到早退并分别受到三次警告后被开除，公司同样无需支付赔偿。

3. 员工存在法定解除情形

   • 若员工存在以下情形，公司可以合法解除劳动合同且无需支付经济补偿：在试用期间被证明不符合录用条件；严重违反用人单位的规章制度；严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害；同时与其他用人单位建立劳动关系并对完成本单位工作任务造成严重影响或拒不改正；因劳动合同无效情形被解除劳动合同；被依法追究刑事责任。

二、需要支付赔偿的情况

1. 规章制度不合法或未公示

   • 如果公司的规章制度存在违法内容，或虽然有相关规定但未向员工公示或告知员工，那么该规章制度对员工不具有约束力。公司以三次警告为由开除员工属于违法解除劳动合同，需要支付赔偿金。
   • 举例：公司规定员工在工作期间不得使用社交媒体，否则给予警告处分，累计三次警告予以开除，但该规定未经过民主程序制定也未公示。若员工因此被开除，公司需支付赔偿金。

2. 警告缺乏事实依据或程序不当

   • 如果公司对员工的警告没有充分的事实依据，或者警告的程序不符合法律规定或公司自身的规章制度，那么这些警告可能是无效的。基于无效警告而作出的开除决定也属于违法解除劳动合同，公司需要支付赔偿金。
   • 举例：公司仅凭主管的口头陈述就对员工给予警告处分，在累计三次无依据的警告后开除员工。这种情况下，公司的开除行为缺乏事实依据，属于违法解除劳动合同，需要支付赔偿金。

3. 员工行为未达严重程度或公司存在过错

   • 若员工的行为虽被认定为违反公司规定，但并未达到严重程度，或者员工的行为是由于公司的过错导致（如工作环境存在安全隐患），公司也不能仅以三次书面警告为由开除员工，否则需承担相应的法律责任。

三、赔偿金的计算方式

• 经济补偿：依据《劳动合同法》第四十七条，按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

  • 计算公式：\(经济补偿 = 工作年限 \times 月工资\)（工作年限不足一年的按比例计算）

• 赔偿金：若用人单位违反法律规定解除劳动合同，应按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

  • 计算公式：\(赔偿金 = 经济补偿 \times 2\)
  • 举例：员工在公司工作了3年5个月，月工资为8000元，若公司违法解除劳动合同，应支付的赔偿金为\(8000 \times 4 \times 2 = 64000元\)（工作年限按4年计算，因为3年5个月中，5个月按半年计算，不满半年按半个月工资计算，但为简化计算，这里直接按4年算，实际计算可能略有差异，但原理相同）。

总结与建议

公司在处理三次警告后开除员工的问题时，应确保规章制度的合法性、有效性及执行程序的正当性，以避免不必要的法律风险和经济损失。同时，员工也应了解自身权益，并在必要时寻求法律帮助以维护自己的合法权益。如果你或你身边的人遇到类似问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。