结论前置：公司执行董事与公司之间是否必然存在劳动关系，并非绝对，而是取决于执行董事是否在公司中担任具体管理职务并实质性提供劳动。若执行董事参与公司日常经营管理并提供劳动，则与公司存在劳动关系；若仅履行董事职责或不在公司任职，则与公司之间不一定存在劳动关系。
一、存在劳动关系的情况
参与日常经营管理：
- 若执行董事在公司中担任具体管理职务，如全面负责公司的研发、生产和销售等业务，并付出实质性的劳动，那么其与公司之间存在事实上的劳动关系。这种情况下，执行董事需遵守公司的劳动规章制度，接受公司的劳动管理，并从公司领取工资报酬。
- 例子：某科技公司执行董事张某，除参与公司决策外，还负责技术研发管理，按考勤制度上下班，并从公司领取固定工资及绩效奖金。在此情况下，张某与公司构成劳动关系。
兼任其他管理职务：
- 执行董事若同时在公司兼任经理、副经理、财务负责人等职务，涉及具体经营管理工作，并通过劳动获取工资报酬，人身和财产受公司实际控制，那么其与公司之间也可能构成劳动关系。
职工董事的情况：
- 职工董事是由公司职工通过民主选举产生的，通常被视为公司员工。若职工董事具备劳动合同法中的主体资格，并为公司提供劳动，则其与公司之间可能构成劳动关系。
二、不存在劳动关系的情况
不在公司任职：
- 若执行董事只是挂名，不实际参与公司的日常经营管理，也不领取公司工资报酬，那么其与公司之间不存在劳动关系。例如，某执行董事在其他单位任职，仅在公司重大决策会议上行使权利。
仅履行董事职责：
- 当执行董事仅按照公司法和公司章程的规定履行董事职责，如参加董事会会议、审议公司重大事项等，而不参与公司的具体经营管理活动时，其身份更类似于外部董事或独立董事，与公司之间不存在劳动关系。
特殊关系下的情况：
- 若执行董事与公司存在其他特殊关系，如其同时是公司的大股东或法定代表人，且他们之间的权利义务关系通过其他文件（如公司章程、股东协议等）来约定，而不一定需要通过劳动合同来规范，那么其与公司之间也不一定存在劳动关系。
三、法律建议
明确角色与职责：
- 公司应明确执行董事的角色与职责，若执行董事参与公司日常经营管理并提供劳动，则应签订劳动合同，以明确双方的权利和义务，保障双方的合法权益。
规范管理：
- 对于实质性参与公司经营管理的执行董事，公司应将其纳入劳动管理体系，遵守劳动法律法规，如支付工资、缴纳社会保险等。
避免纠纷：
- 为避免潜在的劳动纠纷，公司应在执行董事任职前明确其是否与公司构成劳动关系，并根据实际情况决定是否签订劳动合同。
总结：公司执行董事与公司之间是否必然存在劳动关系，需根据具体情况综合判断。在实际操作中，公司应根据执行董事的具体角色和职责，以及与公司之间的实际关系，来决定是否签订劳动合同，并规范管理，以保障双方的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。