结论：护士生病申请换岗未获批准后继续请假且不提离职的做法是否可行，需分情况讨论，具体如下：

1. 从劳动合同和单位规章制度的角度
   • 若劳动合同或单位规章制度有明确规定：如果护士与单位签订的劳动合同中，或者单位制定的规章制度里，明确规定了员工生病时换岗的条件、流程以及请假的相关规则，那么护士需要按照这些规定来操作。例如，合同中规定生病达到一定时长或病情严重程度可申请换岗，护士符合条件申请换岗但单位不批准，此时护士继续请假需符合请假制度。如果请假制度规定生病请假需提供医院证明等材料，护士应按要求提供。若未经批准擅自长时间请假，可能构成旷工，单位有权依据规章制度进行处理，包括警告、扣工资甚至解除劳动合同。
   • 若劳动合同和单位规章制度无明确规定：在这种情况下，护士生病申请换岗，单位没有必须批准的法定义务。但护士因生病确实无法从事原岗位工作，从人性化管理和保障员工权益的角度，单位应与护士协商解决。如果协商不成，护士继续请假，单位也应根据实际情况合理处理。不过，护士长时间请假仍需与单位保持沟通，说明病情和请假需求，避免单位以旷工为由处理。
2. 从劳动法律法规的角度
   • 医疗期的规定：根据劳动法律法规，员工患病或非因工负伤，享有医疗期。在医疗期内，单位不得随意解除劳动合同。护士生病后，如果处于医疗期内，有权请假治疗。医疗期的长短根据员工的工作年限等因素确定。例如，实际工作年限10年以下的，在本单位工作年限5年以下的为3个月；5年以上的为6个月。在医疗期内，单位应按照规定支付病假工资或疾病救济费。如果护士医疗期满后仍不能从事原工作，也不能从事由单位另行安排的工作的，单位可以提前30日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者1个月工资后，解除劳动合同。
   • 单位的义务：单位有义务为员工提供必要的劳动保护和劳动条件。如果护士生病是因为工作环境等因素导致，单位应积极改善工作环境，并根据实际情况考虑换岗。若单位拒绝换岗且不给予合理的请假安排，可能违反劳动法律法规，护士可以通过劳动仲裁等途径维护自己的合法权益。
3. 从实际操作和职场关系的角度
   • 与单位沟通协商：护士生病后，最好先与单位进行充分的沟通协商，说明自己的病情和换岗、请假的需求。可以提供医院的诊断证明等相关材料，以增加说服力。通过友好协商，争取单位的理解和支持，达成一个双方都能接受的解决方案。例如，单位可以临时安排其他相对轻松的工作给护士，或者批准一定期限的病假。
   • 考虑职场关系和职业发展：如果护士不提离职一直这样继续请假，可能会对与单位的关系产生一定的影响。长期请假可能导致工作交接不畅，影响单位的正常运转，也可能引起同事和领导的不满。从职业发展的角度来看，这可能不利于护士未来的晋升和发展。因此，护士在做出决定前，应综合考虑各方面的因素，尽量寻求一个平衡的解决方案。

建议：护士生病后，应先了解单位的规章制度和劳动合同的相关规定，与单位进行积极沟通协商。如果协商无果，且认为单位的做法违反了劳动法律法规，可以收集相关证据，如医院证明、与单位的沟通记录等，通过劳动仲裁等合法途径维护自己的权益。同时，也要考虑自身的职业发展和职场关系，尽量以平和、合理的方式解决问题。