结论：六十岁老人在跟团旅游期间在房间心梗死亡，旅游公司是否承担责任需视具体情况而定，不能一概而论。以下从多个角度进行分析：

一、旅游公司的安全保障义务

根据《中华人民共和国旅游法》及相关规定，旅游经营者（包括旅游公司）对旅游者负有安全保障义务。这包括提供符合安全标准的旅游服务、对可能危及旅游者人身、财产安全的事项向旅游者作出真实的说明和明确的警示，并采取防止危害发生的必要措施。

1. 如果旅游公司未尽到安全保障义务：

   • 例如，未对旅游者的身体状况进行必要的询问或提示，未提供必要的医疗救助条件，或者在明知旅游者存在健康风险的情况下未采取适当措施等，旅游公司可能需要承担相应的赔偿责任。

2. 如果旅游公司已尽到安全保障义务：

   • 如果旅游公司已经按照相关规定和行业标准，对旅游者进行了必要的健康提示、提供了必要的医疗救助条件，并且在事件发生后及时采取了合理的救助措施，那么旅游公司可能不需要承担赔偿责任。

二、心梗死亡的特殊性

心梗是一种突发性的严重疾病，其发生往往与旅游者的个人身体状况、生活习惯等多种因素有关。在旅游过程中，虽然旅游公司有安全保障义务，但并不能完全预防或控制旅游者突发疾病的风险。

1. 如果心梗死亡与旅游公司的行为无直接因果关系：

   • 例如，旅游者本身存在严重的心脏疾病，且在旅游前未告知旅游公司，或者在旅游过程中未按照旅游公司的提示进行健康管理，那么心梗死亡可能与旅游公司的行为无直接因果关系，旅游公司可能不需要承担赔偿责任。

2. 如果存在间接因果关系或旅游公司存在过错：

   • 如果旅游公司的某些行为（如安排过于紧凑的行程、提供不适宜的饮食等）间接导致了旅游者心梗的发作，或者旅游公司在事件发生后未及时采取救助措施，那么旅游公司可能需要承担一定的赔偿责任。

三、具体案例与司法实践

在实际案例中，法院会根据具体事实、旅游公司的过错程度、旅游者自身的身体状况等因素来综合判断旅游公司是否需要承担赔偿责任。因此，每个案例的结果都可能有所不同。

四、建议与措施

1. 对于旅游者及其家属：

   • 在旅游前，应如实告知旅游公司自己的身体状况和特殊需求。
   • 在旅游过程中，应遵守旅游公司的提示和安排，注意自身健康和安全。
   • 如果发生意外事件，应及时与旅游公司沟通并寻求帮助，同时保留好相关证据以便后续维权。

2. 对于旅游公司：

   • 应加强对旅游者的健康提示和安全管理，提供必要的医疗救助条件。
   • 在事件发生后，应及时采取救助措施并配合相关部门进行调查和处理。
   • 可以考虑购买旅游责任保险以分散风险。

总结：六十岁老人在跟团旅游期间在房间心梗死亡，旅游公司是否承担责任需根据具体情况判断。如果旅游公司未尽到安全保障义务或存在过错，可能需要承担赔偿责任；如果旅游公司已尽到义务且心梗死亡与旅游公司行为无直接因果关系，则可能不需要承担赔偿责任。如有具体法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。