公办中学教师请病假在外校上课兼职，这一行为是否违法，需分情况讨论：

1. 从教师职业道德和学校规章制度的角度：

   • 教师作为教育工作者，应当遵守职业道德规范，全心全意投入到本职工作中。请病假期间，教师的职责是休息和恢复健康，以便更好地履行教学职责。
   • 如果学校规章制度明确禁止教师在病假期间从事其他兼职工作，那么教师违反这一规定就可能面临学校的纪律处分，如警告、记过、解聘等。这主要取决于学校规章制度的严格程度和具体执行情况。

2. 从劳动法的角度：

   • 根据《中华人民共和国劳动法》的相关规定，劳动者在病假期间享有休息和获得病假工资的权利。但劳动法并未直接规定病假期间是否可以从事其他兼职工作。
   • 然而，如果兼职工作影响了教师本职工作的恢复，或者违反了与学校签订的劳动合同中的相关条款（如竞业禁止条款），那么教师可能面临法律责任。这主要取决于劳动合同的具体内容和执行情况。

3. 从教育法和教师法的角度：

   • 《中华人民共和国教育法》和《中华人民共和国教师法》强调教师的职责是教书育人，全心全意为学生服务。如果教师在病假期间兼职上课，可能被视为对教育职责的忽视，从而违反教育法和教师法的精神。
   • 特别是如果兼职工作是在与原学校有竞争关系的其他学校进行，那么这种行为可能构成不正当竞争，违反教育市场的公平原则。

具体建议：

• 对于教师而言：在请病假期间，应专注于休息和恢复健康，避免从事可能影响本职工作恢复的兼职活动。如果确实需要兼职，应事先与学校沟通并获得同意，同时确保兼职工作不会违反学校规章制度、劳动合同或相关法律法规。
• 对于学校而言：应建立健全的规章制度，明确教师在病假期间的行为规范。同时，加强对教师职业道德和法律法规的培训，提高教师的法律意识和职业道德水平。

可能后果：

• 如果教师违反学校规章制度或劳动合同进行兼职，可能面临学校的纪律处分或法律责任。
• 如果兼职工作影响了教师本职工作的恢复或构成了不正当竞争，教师还可能面临教育行政部门的处罚或法律诉讼。

总之，公办中学教师请病假在外校上课兼职是否违法，需根据具体情况判断。但无论如何，教师都应遵守职业道德规范、学校规章制度和法律法规，全心全意为学生服务。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。