结论：员工因嫖娼被罚款而未被拘留，工厂能否开除该员工，需根据具体情况判断，若员工行为严重违反工厂规章制度或公序良俗，且规章制度中明确规定此类行为属于严重违纪，工厂有权开除员工；若规章制度未明确规定或规定不明确，工厂直接开除员工可能面临违法解除劳动合同的风险。

分析说明：

1. 从规章制度角度分析：

   • 工厂的规章制度是工厂管理员工的重要依据。如果规章制度中明确规定了员工不得有嫖娼等违法违纪行为，且此类行为被视为严重违纪，那么工厂在员工违反此规定时，有权依据规章制度开除员工。
   • 关键点：规章制度必须合法、合理，且经过民主程序制定并公示，员工必须知晓并同意遵守。若规章制度未明确规定或规定不明确，工厂直接开除员工可能缺乏依据。

2. 从公序良俗角度分析：

   • 嫖娼行为不仅违反了法律法规，也违背了社会公序良俗。如果员工的行为严重损害了工厂的形象和声誉，或者对工厂的工作环境、团队氛围造成了负面影响，工厂在考虑开除员工时，可以结合公序良俗原则进行判断。
   • 关键点：工厂需要证明员工的行为确实对工厂造成了负面影响，且这种影响是严重的、难以弥补的。

3. 从劳动合同解除角度分析：

   • 根据《劳动合同法》的规定，工厂在解除劳动合同时，必须符合法定条件，且程序合法。如果工厂直接以员工嫖娼为由开除员工，而未遵循法定程序或未满足法定条件，可能构成违法解除劳动合同。
   • 关键点：工厂在解除劳动合同时，应确保有充分的证据证明员工的行为严重违反了规章制度或公序良俗，且已按照法定程序进行了处理。

行动建议：

• 对于工厂：

  • 完善规章制度，明确规定员工不得有嫖娼等违法违纪行为，并明确此类行为的处理方式和后果。
  • 在处理员工违纪行为时，确保程序合法、证据充分，避免违法解除劳动合同的风险。
  • 如果员工行为确实严重违反了规章制度或公序良俗，且规章制度中有明确规定，工厂可以依据规章制度开除员工；如果规章制度未明确规定或规定不明确，工厂应谨慎处理，可以考虑给予员工警告、记过等处分，或者与员工协商解除劳动合同。

• 对于员工：

  • 遵守法律法规和工厂的规章制度，避免违法违纪行为的发生。
  • 如果因个人行为受到工厂的处理或开除，可以了解自己的权益和救济途径，如申请劳动仲裁等。

后续思考：工厂在制定和执行规章制度时，应充分考虑员工的权益和工厂的管理需求，确保规章制度的合法性和合理性。同时，员工也应增强法律意识，遵守法律法规和工厂的规章制度，共同维护良好的工作环境和团队氛围。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。