结论：若一审判决后发现程序违法，确实可以申请再审；但关于是否需要退钱，这取决于再审的结果以及原判决中关于赔偿的具体认定。

详细分析：

1. 关于申请再审：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，如果当事人认为已经发生法律效力的判决、裁定存在错误，包括程序违法等情形，有权向上一级人民法院申请再审。
   • 申请再审时，需要提交再审申请书，并附上相关证据材料，以证明原判决存在错误。
   • 法院在收到再审申请后，会进行审查，如果认为符合再审条件，会裁定再审；如果不符合，会裁定驳回申请。

2. 关于是否需要退钱：

   • 如果再审维持原判：即再审法院认为原判决程序合法，实体处理正确，那么原判决继续有效，医院已经支付的赔偿款不需要退还。
   • 如果再审改判或撤销原判：
     • 若再审法院认为原判决程序违法，且该违法程序影响了案件的公正审理和实体处理，可能会撤销原判，发回重审或直接改判。
     • 在这种情况下，如果原判决中医院被判承担赔偿责任，且该赔偿责任在再审中被撤销或减轻，那么医院有权要求返还多支付的赔偿款或不再支付剩余的赔偿款。
     • 但具体是否需要退钱，还需根据再审判决的具体内容来确定。如果再审判决只是撤销了原判中的部分程序违法内容，而实体处理部分（即赔偿部分）仍然有效，那么医院可能仍然需要承担赔偿责任，不需要退钱。

3. 建议与注意事项：

   • 在申请再审前，建议仔细研究原判决和相关的法律法规，确定是否存在程序违法的情形以及该情形是否影响了案件的公正审理和实体处理。
   • 准备充分的再审申请材料和证据，以证明原判决存在错误。
   • 在再审过程中，积极配合法院的审理工作，提供必要的证据和陈述。
   • 如果再审结果不如预期，还可以考虑通过其他法律途径（如申诉、抗诉等）来维护自己的合法权益。但需要注意的是，这些途径都有严格的法律程序和时限要求，需要谨慎操作。

后续行动建议：

• 如果你认为一审判决存在程序违法情形，并希望申请再审，建议尽快咨询专业律师（当然，你可以直接向我咨询），以便更准确地评估再审的可行性和成功率。
• 在准备再审申请材料时，务必确保材料的真实性和完整性，避免因为材料问题而影响再审的申请和审理。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。