在劳务派遣关系中，若由用工单位提供雇主责任险费用，劳务派遣公司和用工单位可按以下方式处理该费用：

1. 协商确定费用承担主体与方式

   • 协商原则：劳务派遣公司与用工单位应通过协商，明确雇主责任险费用的承担主体。根据《劳务派遣暂行规定》第十条，被派遣劳动者在用工单位因工作遭受事故伤害的，劳务派遣单位应当依法申请工伤认定，用工单位应当协助工伤认定的调查核实工作。虽然法律未直接规定雇主责任险费用的承担，但双方可基于风险共担、利益平衡原则进行协商。
   • 费用承担方式：双方可约定由用工单位直接支付保费给保险公司，或由用工单位将费用支付给劳务派遣公司，再由劳务派遣公司统一投保。若由用工单位直接支付，需确保保险公司出具的保单中明确被保险人为劳务派遣公司或用工单位（根据实际需求），并明确被派遣劳动者为保障对象。

2. 明确保险权益归属与理赔流程

   • 保险权益归属：双方应明确雇主责任险的保险权益归属。通常情况下，雇主责任险的被保险人为劳务派遣公司（作为法律上的雇主），但用工单位可作为共同被保险人或附加被保险人，具体取决于保险条款和双方约定。若用工单位为共同被保险人，其可直接向保险公司主张理赔。
   • 理赔流程：双方应约定清晰的理赔流程，包括事故报告、证据提交、理赔申请等环节。劳务派遣公司应协助用工单位完成理赔手续，确保被派遣劳动者的合法权益得到及时保障。若用工单位直接支付保费，可要求保险公司提供理赔进度查询服务，以便及时跟进。

3. 合同条款细化与风险防控

   • 合同条款细化：劳务派遣协议中应明确雇主责任险的投保范围、保额、保费承担、保险权益归属、理赔流程等关键条款，避免因条款模糊引发纠纷。例如，可约定“用工单位承担雇主责任险保费，劳务派遣公司负责投保并确保保险覆盖被派遣劳动者；发生保险事故时，双方共同协助被派遣劳动者申请理赔”。
   • 风险防控：双方应定期评估雇主责任险的保障范围是否充足，是否需要调整保额或增加附加险。同时，应建立风险预警机制，对高风险岗位或作业环境进行重点监控，降低事故发生率。若用工单位未按时支付保费，劳务派遣公司应及时催告并保留证据，避免因保险失效引发法律责任。

4. 税务处理与合规性审查

   • 税务处理：雇主责任险保费若由用工单位承担，可能涉及增值税、企业所得税等税务问题。用工单位可要求保险公司开具增值税专用发票，用于进项税额抵扣。同时，双方应确保保费支出符合税法规定，避免被认定为“不合理支出”而无法税前扣除。
   • 合规性审查：双方应确保雇主责任险的投保、理赔等环节符合《保险法》《劳务派遣暂行规定》等法律法规要求。例如，保险公司应具备合法经营资质，保险条款应明确保障范围和免责条款，避免因保险合同无效引发纠纷。

总结：劳务派遣公司和用工单位应通过协商明确雇主责任险费用的承担主体与方式，细化合同条款并明确保险权益归属与理赔流程，同时加强风险防控和税务处理合规性审查。若双方对费用承担或保险权益存在争议，可依据劳务派遣协议约定或通过法律途径解决。