结论：司机送货时把您家宠物猫压死，责任归属需根据具体情况判断，可能涉及司机责任、雇主责任或您的自身责任。以下从不同角度为您详细分析：
一、司机责任
过错原则：
- 如果司机在送货过程中存在疏忽或故意行为，如未注意路况、违规驾驶等，导致您的宠物猫被压死，那么司机应当承担侵权责任。
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十五条：“饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任；但是，能够证明损害是因被侵权人故意或者重大过失造成的，可以不承担或者减轻责任。” 虽然此条款主要规定的是动物造成他人损害的情况，但同理可推，若因他人过错导致动物损害，过错方也应承担相应责任。在此情境下，可理解为若因司机过错导致宠物猫死亡，司机应承担责任。
赔偿范围：
- 司机应赔偿您因宠物猫死亡所遭受的直接经济损失，如宠物猫的购买价格、医疗费用（如有）、合理的饲养费用等。
- 若宠物猫对您具有特殊情感价值，您还可以主张一定的精神损害赔偿，但这一主张在司法实践中可能较难得到全额支持，需根据具体情况判断。
二、雇主责任
职务行为：
- 如果司机是在执行送货任务的过程中发生此事，且该行为属于职务行为，那么根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条：“用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。用人单位承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的工作人员追偿。” 因此，您也可以向司机的雇主（如物流公司、送货单位等）主张赔偿。
赔偿流程：
- 您应首先与雇主沟通，说明情况并要求赔偿。
- 若雇主拒绝赔偿或协商无果，您可以向法院提起诉讼，要求雇主承担侵权责任。
三、您的自身责任
管理义务：
- 作为宠物猫的饲养人，您有义务对宠物猫进行合理的管理和看护，防止其进入道路等危险区域。
- 如果您未尽到管理义务，如未将宠物猫拴好、未关闭门窗等，导致宠物猫自行跑出并被压死，那么您可能需要承担一定的责任。
责任减轻：
- 在司机或雇主承担责任的情况下，如果您存在过错，法院可能会根据您的过错程度减轻司机或雇主的赔偿责任。
四、建议与行动
收集证据：
- 您应尽快收集相关证据，如现场照片、视频、证人证言等，以证明司机存在过错或您已尽到管理义务。
协商与诉讼：
- 您可以先尝试与司机或雇主协商赔偿事宜，若协商无果，再考虑向法院提起诉讼。
咨询专业律师：
- 在处理此类纠纷时，涉及法律条款的适用和证据的收集等复杂问题，因此建议您在必要时咨询专业律师（当然，您可以直接向我咨询，我擅长处理此类侵权纠纷案件），以更好地维护您的合法权益。
总结：司机送货时把您家宠物猫压死，责任归属需根据具体情况判断。若司机存在过错，应承担侵权责任；若属于职务行为，雇主也应承担相应责任；同时，您也应反思自身是否尽到管理义务。在处理此类纠纷时，建议您收集证据、协商与诉讼并行，并在必要时咨询专业律师。