结论：父亲再婚将儿子丢给奶奶抚养的行为，是否构成违法，需根据具体情况判断，但一般而言，若父亲未履行法定抚养义务，可能涉嫌违法。以下从不同角度进行分析：

一、法律角度：父母对子女的抚养义务

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。这一义务是法定的，不因父母婚姻状况的改变而消除。因此，即使父亲再婚，他仍然有义务抚养自己的未成年子女。

如果父亲将儿子丢给奶奶抚养，而自己不履行抚养义务，这可能构成对法定抚养义务的违反。在这种情况下，奶奶作为其他亲属，虽然可以出于亲情和道义对孙子进行抚养，但这并不免除父亲作为法定监护人的抚养责任。

二、实际情况分析：是否构成遗弃

1. 若父亲只是暂时将儿子交给奶奶照顾，而自己仍然承担抚养费用或定期探望：这种情况下，父亲可能并未完全放弃抚养义务，因此不构成遗弃。但需要注意的是，即使如此，父亲也应确保奶奶有能力和意愿照顾孩子，并避免给奶奶带来过重的负担。

2. 若父亲长期将儿子丢给奶奶，不承担任何抚养费用，也不进行探望或关心：这种情况下，父亲的行为可能构成遗弃。遗弃行为不仅违反了法律规定，还可能对孩子的身心健康造成严重影响。根据相关法律规定，遗弃家庭成员，情节恶劣的，可能构成犯罪，需要承担刑事责任。

三、建议与措施

1. 与父亲沟通：首先，可以尝试与父亲进行沟通，了解他为何将儿子丢给奶奶抚养，并劝说他履行法定抚养义务。

2. 寻求法律援助：如果沟通无果，可以向当地法律援助机构或律师寻求帮助，了解如何维护孩子的合法权益。

3. 提起诉讼：在必要时，可以向法院提起诉讼，要求父亲履行抚养义务或承担遗弃的法律责任。

4. 关注孩子身心健康：无论采取何种措施，都应始终关注孩子的身心健康，确保他得到足够的关爱和照顾。

总结：父亲再婚将儿子丢给奶奶抚养的行为，是否构成违法需根据具体情况判断。但无论如何，父母对子女的抚养义务是法定的，不容忽视。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。