结论：在纹身店徒弟自行给未成年人纹身的情况下，老板是否承担责任需分情况讨论，但通常情况下，若纹身店存在管理过失或未履行相关义务，老板是需要承担一定责任的。
一、老板可能承担责任的情况
管理责任：
- 纹身店作为经营场所，老板有责任确保店内员工的行为符合法律法规和行业规范。如果徒弟在未经老板同意或未受适当监督的情况下自行给未成年人纹身，这反映出纹身店在管理上存在漏洞或过失。
- 根据《中华人民共和国未成年人保护法》的相关规定，任何单位和个人都不得向未成年人提供纹身服务。纹身店若违反此规定，老板作为经营管理者，需承担相应的法律责任。
侵权责任：
- 纹身过程对未成年人的身体可能造成伤害，包括皮肤感染、过敏等风险，这侵犯了未成年人的身体权和健康权。
- 未成年人缺乏足够的认知能力和判断力，无法充分理解纹身的后果和风险。纹身店在未获得未成年人法定代理人同意的情况下提供纹身服务，违反了知情同意原则，老板作为经营管理者，需对此承担侵权责任。
赔偿责任：
- 若因纹身导致未成年人身体受损或产生其他不良后果，纹身店（包括老板）需承担相应的赔偿责任。赔偿范围可能包括清洗纹身的费用、身体损伤治疗费用以及精神损害赔偿等。
二、老板可能不承担责任或减轻责任的情况
徒弟个人行为：
- 如果徒弟的行为完全超出老板的授权范围，且老板在事后能够证明自己已尽到合理的管理义务（如明确禁止员工给未成年人纹身、对员工进行定期培训等），那么老板的责任可能会相对减轻或免除。
监护人责任：
- 未成年人的监护人应履行监护职责，确保未成年人不去从事不良行为，包括纹身。如果监护人未尽到监护职责，导致未成年人去纹身，监护人自身也可能需要承担一定的责任。在判定赔偿责任比例时，法院可能会综合考虑监护人的过错程度，适当减轻纹身店（包括老板）的赔偿责任。
三、法律建议
加强管理：
- 纹身店老板应加强对店内员工的管理和培训，确保员工了解并遵守相关法律法规和行业规范，特别是关于未成年人保护的规定。
核实身份：
- 在提供纹身服务前，纹身店应核实客户的年龄和身份，确保不向未成年人提供纹身服务。
履行告知义务：
- 如果客户是成年人但可能缺乏足够认知能力（如醉酒、精神异常等），纹身店也应履行告知义务，确保客户充分理解纹身的后果和风险。
及时处理纠纷：
- 一旦发生因纹身导致的纠纷或损害，纹身店（包括老板）应及时与受害者或其监护人沟通协商，寻求妥善解决方案。必要时，可寻求法律援助或咨询专业律师（即我本人）以维护自身合法权益。
总之，在纹身店徒弟自行给未成年人纹身的情况下，老板是否承担责任需根据具体情况进行判断。但无论如何，纹身店都应加强管理、履行告知义务并核实客户身份，以避免类似纠纷的发生。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。