若因超市赠品过期导致人身或财产损害，您有权要求超市赔偿实际损失；若未造成实际损害，仍可基于《消费者权益保护法》主张退货或更换赠品，并可要求超市承担必要费用（如交通费）。 以下是具体分析：

1. 法律关系认定
   根据《消费者权益保护法》第二条，消费者为生活需要接受服务或购买商品时，其权益受法律保护。赠品虽未直接支付对价，但属于超市销售行为的组成部分，超市仍需对其质量负责。若赠品过期导致人身损害（如食用过期食品后腹泻），可依据《民法典》第一千一百六十五条主张侵权赔偿；若未造成实际损害，可依据《消费者权益保护法》第二十四条主张退货或更换。

2. 索赔流程与证据收集

   • 现场处理：立即保留赠品、购物小票（或电子支付记录）、过期标识照片等证据，要求超市负责人出具书面处理意见（如拒绝赔偿需注明原因）。
     
   • 协商阶段：明确告知超市其法律义务，提出合理赔偿要求（如医疗费、误工费、交通费等实际支出）。若超市以“赠品不赔”为由拒绝，可引用《消费者权益保护法》第二十六条（格式条款无效）反驳。
     
   • 投诉与诉讼：若协商无果，可向当地市场监督管理局投诉（12315热线），或直接向法院起诉，主张超市承担违约责任或侵权责任。

3. 注意事项

   • 时效性：人身损害赔偿诉讼时效为3年，自知道或应当知道权利受损之日起计算。
     
   • 赔偿范围：以实际损失为限，若无法证明因果关系（如未就医但主张精神损害），可能难以获得支持。
     
   • 赠品性质：若赠品为“买一赠一”中的主商品附属品，超市需承担更高注意义务；若为独立促销赠品，仍需保证基本安全性。

建议行动步骤：

1. 立即停止使用赠品并拍照留存；
   
2. 携带证据与超市协商，要求书面赔偿方案；
   
3. 若协商失败，向市场监管部门投诉或委托律师起诉。
   

如有进一步细节（如是否已产生损害、超市态度等），可随时补充说明，我会为您制定更具体的应对策略。