当您发现商家赠送的商品已经过期时，您确实有权要求商家进行相应的赔偿。以下是对此问题的详细解答，包括赔偿依据、可主张的赔偿内容以及维权步骤。
赔偿依据
首先，根据《中华人民共和国食品安全法》及《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，商家在销售或赠送商品时，有义务确保商品的质量符合安全标准。赠品作为促销手段，与销售行为紧密相连，商家对赠品同样承担产品质量责任。因此，当赠品过期时，商家已经违反了相关法律法规，您有权要求赔偿。
可主张的赔偿内容
退款或换货：
- 您有权要求商家对过期的赠品进行更换，或者如果赠品与主商品一同销售，您可以选择退货并退还相应的款项。
增加赔偿：
- 如果商家明知赠品过期而故意赠送，这构成欺诈行为。根据相关法律规定，您可以要求商家支付价款十倍或损失三倍的赔偿金。如果增加赔偿的金额不足一千元，按一千元计算。
其他损失赔偿：
- 如果因使用过期赠品导致您身体健康受损（如食物中毒、皮肤过敏等）或其他财产损失（如损坏衣物、家具等），您有权要求商家赔偿医疗费、误工费、护理费、交通费等合理费用，以及因财产损失而产生的其他费用。
维权步骤与建议
收集证据：
- 保留好购买商品的凭证，如发票、收据、购物小票等。
- 保存过期赠品的实物、包装等，作为证明购买行为和赠品情况的证据。
与商家协商：
- 直接与商家沟通，明确表达您的诉求和依据的法律法规。
- 在协商过程中，注意保留好聊天记录、通话录音等，以备后续使用。
向相关部门投诉：
- 如果协商无果，您可以向消费者协会（12315）或食品药品监督管理部门投诉举报，请求其介入调解。
提起诉讼：
- 如果通过上述途径均无法解决问题，您可以向法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。在诉讼时，您需要提供相关证据来支持您的诉讼请求。
消费者注意事项
- 在购买商品时，请仔细查看赠品的保质期或使用期限，避免接受过期赠品。
- 保留好购物凭证和赠品相关证据，以便在需要时进行维权。
- 如果发现赠品问题，请及时与商家沟通处理，并保留好沟通记录。
综上所述，当商家赠送的商品过期时，您有权要求商家进行相应赔偿。请按照上述步骤进行维权，以保护自己的合法权益。同时，也希望商家能够遵守相关法律法规，确保赠品的质量安全，共同维护良好的市场秩序。