您完全有权要求超市对过期的赠品进行赔偿。以下是对此问题的详细解析：

法律依据与责任认定

1. 法律依据：根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，经营者向消费者提供商品或服务时，必须确保商品质量符合标准。赠品作为促销手段的一部分，与销售行为紧密相连，因此商家对赠品同样承担产品质量责任。

2. 责任范围：无论赠品是食品、药品还是其他类型的产品，只要已过期且导致消费者遭受损失（包括人身损害或财产损失），商家均需承担相应的法律责任。

赔偿情形分析

1. 一般情况：

   • 如果您因使用过期赠品而遭受人身损害，如皮肤过敏等，您可以要求商家赔偿医疗费、护理费、交通费等合理费用，以及因误工而减少的收入。如果造成残疾或死亡，商家还需赔偿相应的费用。
   • 如果赠品导致您的财产损失，如损坏衣物等，您可以要求商家按市场价格或其他合理方式计算赔偿金额。

2. 增加赔偿情形：

   • 如果商家明知赠品过期仍提供，或者存在欺诈行为，根据《消费者权益保护法》，您有权要求商家增加赔偿。增加赔偿的金额为购买商品价款或接受服务费用的三倍；如果不足五百元，则为五百元。

3. 特殊类型赠品：

   • 对于食品、药品等与人体健康直接相关的赠品，一旦过期即视为不合格产品。商家对此类赠品需承担更严格的赔偿责任。

维权途径与建议

1. 与商家协商：发现赠品过期后，首先尝试与商家友好协商，寻求合理的赔偿或解决方案。

2. 消费者协会调解：如果协商无果，您可以向消费者协会投诉，请求其介入调解。

3. 行政部门投诉：您还可以向市场监督管理部门等行政部门投诉，要求其对商家的违法行为进行查处。

4. 提起诉讼：如果您的损失较大或无法通过其他途径解决，您可以向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。在诉讼时，请务必提供相关证据以支持您的诉讼请求。

消费者注意事项

• 在购买商品时，请仔细查看赠品的保质期或使用期限。
• 保留好购物凭证，以便后续维权时使用。
• 如果发现赠品有问题，请及时与商家沟通处理。

综上所述，您完全有权要求超市对过期的赠品进行赔偿。在维权过程中，请务必保留好相关证据，并按照上述途径积极维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。