结论：员工与顾客在超市发生争吵且双方都有错的情况下，超市对员工进行处罚是否合理，需结合超市规章制度、员工行为性质及后果、双方过错程度等因素综合判断。以下从不同角度为你详细分析：
从超市规章制度角度
- 若超市规章制度明确规定员工与顾客争吵的处理方式
- 情况分析：超市作为用人单位，有权制定内部规章制度来规范员工行为。如果规章制度中明确规定员工与顾客发生争吵，无论过错大小，都要受到一定处罚，比如警告、罚款、扣绩效等，且该规章制度经过民主程序制定（如职工代表大会讨论通过）、已向员工公示（如组织学习、签字确认等），那么超市依据规章制度对员工进行处罚是合法的。
- 举例说明：某超市规章制度规定“员工与顾客发生争吵，无论原因，给予警告处分并扣除当月绩效工资的20%”。员工小李与顾客争吵，超市依据此规定对小李进行处罚，小李若无法证明该规章制度违法或未向其公示，那么超市的处罚行为是合理的。
- 若超市规章制度未明确规定或规定不合理
- 情况分析：如果超市规章制度没有关于员工与顾客争吵的处理规定，或者规定过于模糊、不合理，比如直接规定“员工与顾客争吵，一律开除”，这种规定可能因缺乏合理性和明确性而不被认可。在这种情况下，超市随意对员工进行处罚可能缺乏依据。
- 举例说明：超市规章制度仅简单提及“员工不得与顾客争吵”，但没有说明争吵后的处理措施。员工小张与顾客发生争吵后，超市直接对小张罚款500元，由于规章制度没有明确罚款标准，小张可以认为超市的处罚缺乏依据。
从员工行为性质及后果角度
- 员工行为未造成严重后果
- 情况分析：如果员工与顾客的争吵只是轻微的言语冲突，没有对顾客造成人身伤害、财产损失，也没有对超市的声誉、经营秩序等造成严重影响，超市的处罚应当相对较轻。如果超市给予过重的处罚，如开除、高额罚款等，可能不合理。
- 举例说明：员工小王与顾客因商品价格问题发生几句争吵，周围顾客没有受到明显影响，超市也没有接到其他顾客的投诉。此时超市直接开除小王，这种处罚可能过于严厉，小王可以主张超市的处罚不合理。
- 员工行为造成严重后果
- 情况分析：若员工的争吵行为导致顾客受伤、财产受损，或者引发大量顾客围观、投诉，严重影响了超市的声誉和正常经营秩序，超市为了维护自身利益和秩序，可能会给予员工较重的处罚，这种情况下处罚相对合理。
- 举例说明：员工小赵与顾客争吵过程中推搡了顾客，导致顾客摔倒受伤，周围顾客纷纷围观并拍照发到网上，给超市带来了极大的负面影响。超市为了平息事件、维护声誉，对小赵进行开除处理，这种处罚在一定程度上是合理的。
从双方过错程度角度
- 员工过错较大
- 情况分析：如果员工在与顾客争吵中存在主动挑衅、辱骂、动手等明显过错行为，而顾客只是进行了适当的回应，那么超市对员工进行处罚是合理的。处罚的轻重可以根据员工的过错程度来确定，过错越大，处罚可能越重。
- 举例说明：员工小孙故意挑衅顾客，对顾客进行辱骂，引发争吵。顾客只是进行了简单的反驳，没有过激行为。超市对小孙进行警告并罚款300元的处罚，是合理的。
- 双方过错相当
- 情况分析：当员工和顾客的过错程度相当，超市在处罚员工时应当综合考虑各种因素，处罚不应过于偏袒一方。如果超市仅对员工进行处罚，而对顾客没有任何处理，可能会让员工觉得不公平。
- 举例说明：员工小周和顾客因商品质量问题发生争执，双方都有言语不当的情况，过错程度相当。超市只对小周进行处罚，如扣绩效工资，而对顾客没有进行任何劝导或处理，小周可以认为超市的处罚不公平。
员工应对建议
- 查看超市规章制度：员工首先要查看超市的规章制度，了解其中关于与顾客争吵的处理规定，判断超市的处罚是否有依据。
- 收集证据：收集与争吵事件相关的证据，如监控视频、证人证言等，以证明自己在争吵中的过错程度以及争吵造成的后果。
- 与超市沟通协商：如果认为超市的处罚不合理，可以与超市管理层进行沟通协商，说明自己的观点和理由，争取减轻或撤销处罚。
- 申请劳动仲裁：如果沟通协商无果，员工可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
如果你在超市工作遇到类似情况，或者有其他劳动纠纷方面的问题，都可以直接向我咨询。