结论前置：当劳动合同到期后，公司未及时续签而员工继续上班，公司主要违反了《中华人民共和国劳动合同法》中关于劳动合同签订及续签的相关规定，具体涉及未及时签订书面劳动合同的法律责任以及可能视为签订无固定期限劳动合同的情形。
一、未及时签订书面劳动合同的法律责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
具体情形：
- 在劳动合同到期后，若公司未在一个月内与员工续签书面劳动合同，而员工继续上班，则公司需从合同到期后的第二个月开始，向员工支付双倍的工资，直至双方签订书面劳动合同或视为已订立无固定期限劳动合同（即满一年未签订书面合同）。
计算方式：
- 双倍工资的计算基数通常为员工原工资标准，计算期间为自合同到期后第二个月起至实际签订书面劳动合同或满一年之日止，但最多不超过11个月（因为满一年后视为已订立无固定期限劳动合同）。
二、视为签订无固定期限劳动合同的情形
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条第三款：“用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。”
具体情形：
- 若公司在劳动合同到期后，未与员工续签书面劳动合同，且员工继续上班满一年，则法律上视为双方已订立无固定期限劳动合同。此时，公司需承担无固定期限劳动合同下的所有法律责任，包括但不限于支付经济补偿（在符合支付情形时）、提供劳动条件等。
三、员工的权利与应对措施
要求签订书面合同：
- 员工有权要求公司及时与其签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。
主张双倍工资差额：
- 若公司未依法支付双倍工资，员工可通过劳动仲裁或诉讼等法律途径要求公司支付差额。在此过程中，员工需收集相关证据（如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等）以证明自己在劳动合同到期后继续在公司工作的事实。
要求签订无固定期限劳动合同或经济补偿：
- 若符合签订无固定期限劳动合同的条件（如连续工作满一年未签订书面合同），员工可要求公司签订；若公司拒绝，员工可依法要求公司支付赔偿金（在符合支付情形时）。
四、公司的建议与措施
及时续签劳动合同：
- 公司应在劳动合同到期后及时与员工协商并续签新的劳动合同，以明确双方的权利义务，避免潜在的法律风险和纠纷。
完善内部管理流程：
- 公司应建立健全的劳动合同管理制度，确保在劳动合同到期前及时与员工沟通续签事宜，避免因疏忽或管理不善而导致的法律风险。
总结与提醒：劳动合同到期后公司未及时续签而员工继续上班的情况，不仅可能使公司面临支付双倍工资的法律责任，还可能被视为已订立无固定期限劳动合同。因此，公司应高度重视劳动合同的签订和续签工作，确保双方的合法权益得到充分保障。若您在此方面遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。