结论前置：调解书生效后，若对方故意拖欠抚养费，您确实可以向法院起诉要求对方支付延迟履行的利息，但具体能否得到支持以及利息的计算方式，需依据相关法律法规及调解书的具体内容来确定。
法律背景与解释：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。在抚养费支付问题上，若调解书已明确支付义务及期限，对方故意拖欠即构成违约，应承担相应的违约责任。
- 关于延迟履行利息的支付，虽然民法典未直接规定抚养费拖欠需支付利息，但根据违约责任的一般原则，以及参照类似案件的司法实践，法院在判决时可能会考虑支持要求支付延迟履行利息的请求，尤其是当这种拖欠行为给另一方造成了实际经济损失时。
调解书的具体内容：
- 调解书作为具有法律效力的文书，其内容对双方均具有约束力。若调解书中已明确约定了抚养费的支付金额、支付方式及支付期限，且约定了违约责任（包括但不限于支付延迟履行利息），则对方拖欠时，您完全有权依据调解书向法院起诉要求对方支付延迟履行利息。
- 若调解书中未明确约定违约责任或延迟履行利息，您仍可向法院起诉，但法院在判决时可能会根据实际情况、双方的经济状况以及拖欠行为对另一方造成的影响等因素，综合考量是否支持支付延迟履行利息的请求。
利息的计算方式：
- 若调解书或法院判决中明确规定了延迟履行利息的计算方式，则按该方式计算。
- 若未明确规定，法院可能会参照中国人民银行同期同类贷款利率或者全国银行间同业拆借中心公布的贷款市场报价利率（LPR）来计算延迟履行期间的债务利息。具体计算公式可能为：延迟履行利息 = 拖欠的抚养费金额 × 利率 × 延迟履行天数。
法律建议：
- 在起诉前，建议您先仔细审查调解书的内容，确认其中是否已明确约定了抚养费的支付义务、期限及违约责任。
- 若调解书中未明确约定违约责任或延迟履行利息，您可以在起诉时一并提出该请求，并准备好相关证据（如对方拖欠抚养费的记录、您的经济损失证明等）以支持您的主张。
- 在诉讼过程中，保持与法院的沟通，及时了解案件进展，并根据法院的要求提供必要的证据和材料。
可能的法律后果：
- 若法院支持您的请求，对方将被判决支付拖欠的抚养费及延迟履行利息，这将对您的经济状况产生积极影响。
- 若法院未支持您的请求（如认为调解书中未明确约定违约责任或延迟履行利息，且您未能提供充分证据证明对方拖欠行为给您造成了实际经济损失），则您可能需要通过其他途径（如协商、调解等）来寻求解决方案。
总结与进一步思考：
在处理此类抚养费拖欠问题时，建议您首先尝试与对方进行协商，看是否能够达成和解并促使对方履行支付义务。若协商无果，再考虑通过法律途径解决。同时，也建议您在未来的调解或诉讼过程中，更加注重对违约责任及延迟履行利息等条款的约定和明确，以更好地保护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。