关于因偷电瓶车被抓进看守所后取保候审的最佳时机，这并没有一个绝对的“最好”时间点，但可以从以下几个角度来分析，以帮助您更好地理解和把握：
侦查阶段初期：
- 在案件刚进入侦查阶段时，如果犯罪情节相对较轻，比如初犯、偶犯，且盗窃的电瓶车价值不大，没有造成严重后果，此时及时委托律师介入，向公安机关提出取保候审的申请，是一个较好的时机。因为在这个阶段，公安机关对案件的调查可能还在初步阶段，如果律师能够充分阐述犯罪嫌疑人的情况，展示其没有社会危险性，有可能促使公安机关同意取保候审。
侦查阶段中期：
- 如果案件在侦查阶段初期未能成功取保候审，但随着调查的深入，发现犯罪嫌疑人的情节并不严重，或者存在其他有利于犯罪嫌疑人的证据（如自首、立功、退赃等），此时再次提出取保候审的申请，也是一个可行的时机。律师可以结合新的证据和情况，向公安机关或检察机关阐述取保候审的合理性和必要性。
审查逮捕阶段：
- 在公安机关提请检察机关审查逮捕时，是另一个关键的时机。如果检察机关认为犯罪嫌疑人没有逮捕必要，或者案件证据不足，存在无罪或罪轻的可能，那么检察机关可能会作出不批准逮捕的决定，此时犯罪嫌疑人就有可能被取保候审。律师可以在这个阶段积极与检察机关沟通，提交法律意见和证据材料，争取不批准逮捕的结果。
整个诉讼过程中的任何阶段：
- 实际上，取保候审的申请并不局限于上述特定阶段。在整个刑事诉讼过程中，只要犯罪嫌疑人的情况发生变化，或者出现新的有利于犯罪嫌疑人的证据和情况，都可以随时向办案机关提出取保候审的申请。律师需要密切关注案件进展，及时把握时机，为犯罪嫌疑人争取最大的合法权益。
法律建议：
- 及时委托律师：一旦犯罪嫌疑人被刑事拘留，家属应尽快委托专业律师介入。律师可以及时了解案件情况，为犯罪嫌疑人提供法律帮助，包括提出取保候审的申请。
- 准备充分证据：在提出取保候审申请时，律师需要准备充分的证据材料，以证明犯罪嫌疑人没有社会危险性，或者存在其他有利于取保候审的情况。
- 积极沟通协商：律师需要与办案机关保持积极沟通，及时了解案件进展和办案机关的意见，根据情况调整策略，争取最好的结果。
可能后果：
- 如果取保候审申请被批准，犯罪嫌疑人将获得暂时的自由，但需要遵守取保候审的规定，如定期报告行踪、不得离开指定区域等。如果违反规定，可能会被撤销取保候审，重新被拘留。
- 如果取保候审申请被拒绝，犯罪嫌疑人将继续被羁押在看守所，等待后续的诉讼程序。此时，律师需要继续为犯罪嫌疑人提供法律帮助，争取在后续的诉讼程序中维护其合法权益。
最后需要强调的是，每个案件的具体情况都是不同的，取保候审的时机和可能性也会因案件而异。因此，如果您或您的家人面临类似情况，请直接向我咨询，我会根据案件的具体情况为您提供专业的法律建议和帮助。