取保候审的最佳时间通常是在犯罪嫌疑人被刑事拘留后的37天之内，特别是在侦查阶段（公安阶段）和审查逮捕阶段（检察院阶段）。以下是对这一结论的详细阐述：

1. 侦查阶段（公安阶段）——黄金时间：

   • 在犯罪嫌疑人被刑事拘留后，至提请检察院批准逮捕前的这一段时间，是申请取保候审的黄金时期。此阶段案件处于初步侦查阶段，证据尚未完全固定，公安机关对案件的整体把握在动态变化中。律师及时介入，通过提交证明犯罪嫌疑人符合取保候审条件的材料，如可能判处管制、拘役或独立适用附加刑，或患有严重疾病、生活不能自理，或怀孕、正在哺乳，或采取取保候审不致发生社会危险性等，能够有较高的成功率说服公安机关认为没有羁押必要，从而批准取保候审。

2. 审查逮捕阶段（检察院阶段）——关键时期：

   • 公安机关提请检察院批准逮捕后，至检察院作出决定前的这一段时间，是申请取保候审的关键时期。检察院在此阶段会对案件进行全面审查，包括证据的充分性和犯罪嫌疑人的社会危险性。律师可以提出专业法律意见，论证犯罪嫌疑人不符合逮捕条件，争取检察院不批准逮捕，从而获得取保候审的机会。

3. 后续阶段的可能性：

   • 在审查起诉阶段和审判阶段，虽然也可以申请取保候审，但成功率可能相对较低。因为随着案件的进展，证据可能逐渐完善，犯罪嫌疑人的社会危险性也可能得到更充分的评估。然而，若出现新情况，如犯罪嫌疑人发现立功表现、与被害人达成和解等，或案件证据存在问题，仍可向相关机关申请取保候审。

综上所述，取保候审的最佳时间是在犯罪嫌疑人被刑事拘留后的37天内，特别是在侦查和审查逮捕阶段。律师应充分利用这一关键时期，结合案件具体情况和犯罪嫌疑人个人情况，积极准备并提交取保候审申请材料，以最大化成功概率。若您或您的亲友面临此类问题，请尽早咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。