关于您提出的“羁押期间什么时候申请取保候审最好”的问题，这确实是一个需要根据具体案情、证据情况以及嫌疑人或被告人的个人情况等多方面因素来综合考虑的问题。以下是我为您详细梳理的解答：

一、取保候审的基本概念与适用条件

取保候审是刑事诉讼中的一项重要非羁押性强制措施，它允许犯罪嫌疑人在提供担保人或交纳保证金并出具保证书的前提下，暂时获得自由，但需保证不逃避或妨碍侦查，并随传随到。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，只要犯罪嫌疑人符合可能判处管制、拘役或独立适用附加刑；可能判处有期徒刑以上刑罚但采取取保候审不致发生社会危险性；患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或正在哺乳自己婴儿的妇女且采取取保候审不致发生社会危险性；或羁押期限届满案件尚未办结需要继续采取强制措施等条件之一，即可申请取保候审。

二、各阶段取保候审的申请时机与策略

1. 拘留阶段：

   • 申请时机：犯罪嫌疑人刚被刑事拘留时，案件情况尚未完全明朗，此时申请取保候审可能较为有利。
   • 策略建议：若犯罪嫌疑人符合取保候审条件，如可能判处较轻刑罚或采取取保候审不致发生社会危险性等，应及时向侦查机关提出申请，并提供相关证据和理由。

2. 逮捕前的审查批捕阶段：

   • 申请时机：公安机关提请检察院批准逮捕的7天审查期限内，是申请取保候审的关键时期。
   • 策略建议：律师应全面审查案件证据和犯罪嫌疑人的社会危险性，提供充分理由和证据证明犯罪嫌疑人不具有逮捕必要性，如患有严重疾病、生活不能自理等，以增加取保候审的成功率。

3. 逮捕后的侦查羁押阶段：

   • 申请时机：侦查过程中出现新情况，如证据发生变化或犯罪嫌疑人身体状况不适合继续羁押时，可申请取保候审。
   • 策略建议：律师应密切关注案件进展，及时发现并利用新情况提出取保候审申请，如提供医院诊断证明等材料证明犯罪嫌疑人身体状况不佳。

4. 审查起诉阶段和审判阶段：

   • 申请时机：案件进入审查起诉或审判阶段时，也可根据案情申请取保候审。
   • 策略建议：律师应全面审查案件事实和法律适用情况，若发现证据不足、犯罪情节轻微或被告人符合取保候审条件等情况，应及时向检察院或法院提出取保候审申请。

三、总结与建议

取保候审的申请时机需根据具体案情灵活决定。在案件初期即侦查阶段申请可能相对容易成功，但随着案件推进和证据变化，申请难度可能增加。因此，我建议您或犯罪嫌疑人的家属尽快咨询专业律师，由律师根据案情和法律规定制定合适的策略并代为申请取保候审。同时，也请注意遵守取保候审期间的相关规定，以确保诉讼的顺利进行。