结论：设计院劳务派遣人员能否担任设计院项目执行负责人，需根据具体法律法规、劳务派遣协议以及设计院内部规定综合判断，一般情况下，若符合相关条件且无明确限制，劳务派遣人员可以担任项目执行负责人，但实践中可能存在诸多限制和挑战。以下从不同角度详细分析：
一、法律法规层面
劳务派遣的适用范围：
- 根据《劳动合同法》及相关规定，劳务派遣一般在临时性、辅助性或者替代性的工作岗位上实施。项目执行负责人岗位若不属于这些性质，则劳务派遣可能不适用。
- 若项目执行负责人岗位被设计院认定为临时性、辅助性或替代性岗位，且符合劳务派遣的其他条件（如劳务派遣单位与用工单位签订劳务派遣协议等），则劳务派遣人员理论上可以担任。
劳务派遣人员的权利与义务：
- 劳务派遣人员享有与用工单位同类岗位劳动者同工同酬的权利，以及参加或组织工会等权利。
- 劳务派遣人员应遵守用工单位的规章制度，完成用工单位指定的工作任务。若项目执行负责人的职责属于用工单位指定的工作任务范围内，且劳务派遣人员具备相应能力，则其可以担任。
二、劳务派遣协议层面
协议内容：
- 劳务派遣协议应明确派遣岗位和人员数量、派遣期限、劳动报酬和社会保险费的数额与支付方式等条款。
- 若协议中明确规定了劳务派遣人员可以担任项目执行负责人，且该规定不违反法律法规，则劳务派遣人员可以担任。
协议变更与解除：
- 劳务派遣协议的变更或解除应遵循法定程序和约定条件。若因项目需要变更劳务派遣人员的岗位为项目执行负责人，且双方协商一致并签订变更协议，则劳务派遣人员可以担任。
三、设计院内部规定层面
岗位设置与职责：
- 设计院应明确项目执行负责人的岗位设置、职责和任职要求。若劳务派遣人员符合这些要求，且设计院无明确限制劳务派遣人员担任该岗位的规定，则其可以担任。
内部管理规定：
- 设计院可能制定有关于劳务派遣人员的管理规定，如晋升、评优等方面的限制。若这些规定不影响劳务派遣人员担任项目执行负责人的基本条件，则其可以担任；但若存在明确限制，则可能无法担任。
四、实践中的挑战与限制
用工单位偏好：
- 实践中，用工单位可能更倾向于使用正式员工担任项目执行负责人等关键岗位，以确保项目的稳定性和可控性。
劳务派遣人员的稳定性：
- 劳务派遣人员的劳动关系在劳务派遣单位，用工单位可能担心其稳定性问题，从而影响其担任项目执行负责人的决策。
行业惯例与认知：
- 某些行业或领域可能存在对劳务派遣人员的偏见或认知局限，认为其不适合担任关键岗位。这种观念可能影响设计院对劳务派遣人员担任项目执行负责人的态度。
建议：若您作为劳务派遣人员希望担任设计院项目执行负责人，建议首先了解相关法律法规和劳务派遣协议的内容，确认自己是否符合担任该岗位的条件；其次，与设计院沟通协商，了解其内部规定和态度；最后，根据实际情况做出决策。若遇到法律问题或需要进一步咨询，请直接向我提问。