结论：您可以报案，且从法律和道德层面，您都有合理的理由和依据去采取这一行动。以下从多个角度为您详细分析：
法律角度
家暴行为的违法性：
- 根据《中华人民共和国反家庭暴力法》的相关规定，家庭暴力是指家庭成员之间以殴打、捆绑、残害、限制人身自由以及经常性谩骂、恐吓等方式实施的身体、精神等侵害行为。您被老婆家暴，显然属于家庭暴力的范畴，这是违法的行为。
报案的权利与义务：
- 作为受害者，您有权向公安机关报案，要求公安机关对家暴行为进行调查和处理。同时，为了保护自己和孩子的权益，您也有义务及时报案，以便公安机关能够迅速介入，防止事态进一步恶化。
孩子被遗弃的法律后果：
- 您提到老婆丢下两个年幼且生病的孩子，这一行为可能构成遗弃。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的，构成遗弃罪。因此，您老婆的行为可能面临刑事责任的追究。
道德与社会角度
保护孩子的责任：
- 作为父母，双方都有责任和义务照顾和保护孩子。您老婆在家暴后丢下孩子，不仅违反了法律，也违背了道德和社会公序良俗。您有责任和义务确保孩子的安全和健康，及时报案也是为了寻求帮助，保护孩子免受进一步的伤害。
社会支持与援助：
- 在面对家庭暴力和孩子被遗弃的困境时，您不是孤立的。社会上有许多机构和组织可以提供帮助和支持，如公安机关、妇联、儿童保护机构等。报案后，这些机构可以迅速介入，为您提供必要的援助和保护。
实际操作建议
立即报案：
- 建议您立即向当地公安机关报案，详细陈述家暴和孩子被遗弃的情况，提供相关证据（如伤痕照片、医疗记录、目击者证言等），以便公安机关能够迅速展开调查。
寻求法律援助：
- 在报案的同时，您可以考虑寻求法律援助，咨询专业律师（如我）的意见，了解自己的权益和可能的法律途径。律师可以为您提供法律建议，协助您处理后续的法律事务。
关注孩子状况：
- 在报案和寻求法律援助的同时，请务必关注孩子的状况，确保他们得到及时的医疗照顾和心理支持。如果可能的话，可以寻求亲朋好友的帮助，共同照顾孩子，减轻您的负担。
后续思考依据：在处理此类案件时，需要综合考虑法律、道德和社会多个层面的因素。法律是维护社会秩序和公平正义的基石，而道德和社会公序良俗则是社会和谐稳定的重要保障。在面对家庭暴力和孩子被遗弃的困境时，及时报案并寻求法律援助是保护自己和孩子权益的有效途径。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。