便利店向未成年人出售香烟属于违法行为，将面临行政处罚，具体处罚措施如下：

1. 行政处罚依据
   根据《中华人民共和国未成年人保护法》第五十九条及第一百二十三条，禁止向未成年人销售烟、酒、彩票或兑付彩票奖金。若便利店违反该规定，由文化和旅游、市场监督管理、烟草专卖、公安等部门按照职责分工责令限期改正，给予警告，没收违法所得，并可处以五万元以下罚款；拒不改正或情节严重的，责令停业整顿或吊销营业执照、吊销相关许可证，并处五万元以上五十万元以下罚款。

2. 处罚的构成要件

   • 主体：便利店作为销售方，需具备烟草专卖零售许可证等经营资质。
     
   • 行为：明知或应知购买者为未成年人仍出售香烟（如未查验身份证件）。
     
   • 后果：无需实际造成危害结果，只要实施违法行为即构成处罚条件。

3. 执法部门与程序

   • 部门分工：烟草专卖局负责烟草制品销售监管，市场监管部门负责一般商品销售监管，通常联合执法。
     
   • 程序：发现违法行为后，执法部门将立案调查，收集证据（如监控录像、销售记录、未成年人证言等），经听证程序后作出处罚决定。

4. 其他法律责任

   • 民事责任：若未成年人因吸烟导致健康损害，其监护人可要求便利店承担侵权赔偿责任。
     
   • 刑事责任：若便利店多次违规或涉及伪造证件等情节，可能触犯《刑法》中“非法经营罪”或“销售不符合安全标准产品罪”（需具体情节认定）。

建议：便利店应严格落实身份查验制度，在显著位置张贴“禁止向未成年人售烟”标识，并培训员工识别未成年人特征（如外貌、证件等）。若已发生违规行为，建议主动配合调查、整改，争取从轻处理。如有进一步疑问，可直接向我咨询。