便利店向未成年人售烟或通过他人向未成年人售烟的行为，属于违法行为，将面临行政处罚，情节严重的可能涉及刑事责任。以下是具体分析：

1. 行政处罚
   根据《中华人民共和国未成年人保护法》第五十九条及《烟草专卖法实施条例》相关规定：
   

• 禁止向未成年人售烟：任何经营场所不得向未成年人销售烟草制品，包括直接销售或通过他人间接销售。
  
• 处罚措施：
  
  • 由烟草专卖行政主管部门责令限期改正，给予警告；
    
  • 没收违法所得，可并处5万元以下罚款；
    
  • 拒不改正或情节严重的，责令停业整顿或吊销烟草专卖零售许可证，可并处5万元以上50万元以下罚款。
    

1. 刑事责任（极端情况）
   若便利店长期、大规模向未成年人售烟，且涉及伪造证件、暴力抗法等情节，可能触犯《刑法》中非法经营罪或妨害公务罪，但实践中此类案例极少，通常以行政处罚为主。

2. 其他法律后果

• 信用惩戒：违规记录可能纳入社会信用体系，影响企业或个人征信。
  
• 民事赔偿：若未成年人因吸烟导致健康损害，家长可要求便利店承担民事赔偿责任。
  

建议：便利店应严格审核购烟者年龄，张贴“禁止向未成年人售烟”标识，并培训员工识别未成年人。若发现违规行为，可向当地烟草专卖局或市场监管部门举报。

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体法律适用或证据收集问题。