针对行政机关履职不答复的情况，可依法通过以下途径解决：

1. 申请行政复议
   根据《中华人民共和国行政复议法》第十一条、第十二条，若行政机关未在法定期限内履行法定职责（如未答复申请、未处理投诉等），公民、法人或其他组织可自知道该不作为之日起60日内向复议机关（通常为上级行政机关或本级政府）提出复议申请。复议机关需在60日内作出决定，逾期未决定的，申请人可在复议期满后15日内向法院起诉。

2. 提起行政诉讼
   依据《中华人民共和国行政诉讼法》第四十七条，若行政机关在收到申请后2个月内未履行职责且未答复，或紧急情况下未立即处理，公民、法人或其他组织可直接向法院提起诉讼，要求确认行政不作为违法并责令履行职责。诉讼时效为知道行政机关不作为之日起6个月内。

3. 投诉举报与监督

   • 向上级机关反映：通过书面或线上渠道向行政机关的上级部门、监察委员会或政府信访部门投诉，要求督促履职。
     
   • 申请政府信息公开：若涉及公共利益，可依据《政府信息公开条例》要求行政机关公开履职进展或拒绝答复的理由，形成书面证据。
     
   • 媒体或社会监督：在合法合规前提下，通过正规渠道曝光问题，推动行政机关回应。

4. 法律程序中的注意事项

   • 证据固定：保留申请材料、邮寄凭证、沟通记录等，证明已履行催告义务及行政机关未答复的事实。
     
   • 时效管理：严格遵守复议、诉讼的起诉期限，避免因超期丧失救济权利。
     
   • 专业辅助：若涉及复杂程序或专业领域（如土地、环保、市场监管等），可委托律师协助起草法律文书、参与听证或庭审。

行动建议：

1. 优先通过书面形式（如EMS邮寄）向行政机关提交履职申请，明确要求答复的期限及法律依据；
   
2. 若未获答复，立即启动复议或诉讼程序，避免拖延；
   
3. 同步向监察部门或上级机关投诉，形成多渠道监督压力。
   

如需进一步分析具体案件中的程序细节或证据准备，可直接向我咨询。