结论：公务员遛狗不牵绳这一行为本身，并不直接构成需要向其单位发送行政处罚通知的情形，但具体是否需要通知单位，需结合行为后果、单位规定及地方性法规综合判断。以下从不同角度详细分析：

1. 行政处罚的适用对象与行为性质

   • 行政处罚是针对违反行政管理秩序的行为，由行政机关依法对违法行为人实施的制裁。公务员遛狗不牵绳，若仅违反地方性养犬管理规定（如未牵绳、未佩戴嘴套等），通常属于个人行为，直接由公安机关或城市管理部门依据《治安管理处罚法》或地方性法规（如《XX市养犬管理条例》）对个人进行处罚（如警告、罚款），处罚对象是公务员个人，而非其单位。
   • 若公务员因遛狗不牵绳导致他人受伤、财产损失等侵权后果，可能涉及民事赔偿，此时责任主体仍是公务员个人，单位一般不直接承担赔偿责任，除非能证明单位存在过错（如未尽到管理职责）。

2. 单位是否需知情的情形

   • 单位内部规定：若公务员所在单位有明确规定（如《公务员行为规范》或内部纪律要求），要求员工遵守社会公德、维护单位形象，且遛狗不牵绳行为被认定为“违反社会公德”或“损害单位声誉”，单位可能依据内部规定对公务员进行批评教育、通报批评等处理。此时，行政机关在处罚公务员后，可能根据单位要求或主动通报处罚情况，但非法定义务。
   • 行为后果严重性：若公务员因遛狗不牵绳引发重大社会影响（如群体性事件、媒体曝光等），行政机关或纪检监察机关可能将处罚情况通报其单位，作为纪律处分或组织处理的依据。但这种情况属于例外，需结合具体情节判断。

3. 地方性法规的特殊规定

   • 部分地方性法规可能对公务员等特定职业群体的养犬行为提出更高要求（如禁止在工作时间遛狗、必须牵绳等），并规定“违反者除处罚个人外，还需通报所在单位”。若公务员所在地区有此类规定，则行政机关在处罚后应当将处罚情况通知单位。但此类规定需以地方性法规或政府规章为依据，非普遍现象。

4. 法律建议

   • 对公务员个人：遛狗时务必遵守地方性养犬管理规定，牵绳、佩戴嘴套、清理粪便等，避免因个人行为引发行政处罚或单位处分。
   • 对单位：若发现员工有违规养犬行为，可依据内部规定进行教育或处理，但无需主动要求行政机关通报处罚情况，除非涉及重大违纪或社会影响。
   • 对行政机关：处罚公务员时，应严格依据《行政处罚法》及地方性法规，无需主动通知其单位，除非法律明确规定或单位提出正式申请。

总结：公务员遛狗不牵绳是否需通知单位，无统一答案，需结合行为后果、单位规定及地方性法规综合判断。若您或您所在单位遇到此类问题，可进一步提供具体情节（如行为地点、后果、地方规定等），我将为您分析具体法律风险及应对方案。