民办学校在合同到期时，可以不和老师续签合同，但需根据具体情况判断是否需要支付经济补偿。具体分析如下：

1. 合同到期不续签的合法性
   根据《劳动合同法》第四十四条，劳动合同期满属于法定终止情形，用人单位有权选择不续签。民办学校作为用人单位，在合同到期时可以依法终止与老师的劳动关系，无需强行续签。

2. 经济补偿的支付条件
   若学校决定不续签，需根据《劳动合同法》第四十六条支付经济补偿，具体标准为：

   • 补偿基数：老师离职前12个月的平均工资（含基本工资、奖金、津贴等货币性收入）；
     
   • 补偿年限：每工作满1年支付1个月工资，6个月以上不满1年按1年计算，不满6个月支付半个月工资。
     例外情形：若老师主动提出不续签，或学校维持/提高原合同条件老师仍拒绝续签，则无需支付补偿。

3. 特殊情形下的续签义务

   • 连续订立两次固定期限合同后：若老师已与学校连续签订两次固定期限合同（如第一次1年、第二次3年），且老师无《劳动合同法》第三十九条（严重违纪等）和第四十条第一项（医疗期满不能工作）、第二项（不能胜任工作）规定的情形，学校需在第二次合同到期前与老师订立无固定期限合同，否则可能构成违法终止，需支付赔偿金（经济补偿的2倍）。
     
   • 孕期、产期、哺乳期女职工：若老师处于“三期”内且合同到期，学校需将合同顺延至“三期”届满，此时不得以合同到期为由终止劳动关系。

4. 操作建议

   • 提前沟通：学校应在合同到期前30日书面通知老师是否续签，避免因程序瑕疵引发纠纷；
     
   • 留存证据：若老师拒绝续签，需保留其书面或录音证据，证明学校已维持/提高条件；
     
   • 合规终止：若决定不续签，应依法支付补偿，并出具终止劳动合同证明，办理档案和社保转移手续。

总结：民办学校在合同到期时有权不续签，但需注意经济补偿支付和特殊情形下的续签义务。若涉及复杂情况（如无固定期限合同签订、“三期”女职工等），建议进一步向我咨询具体操作方案。