结论前置：劳务派遣到机关事业单位的女员工能否申请生育补贴，需分情况讨论，主要取决于其社保缴纳情况及当地具体政策规定。以下为具体分析：

1. 社保缴纳主体与生育补贴资格
   根据《企业职工生育保险试行办法》及地方性法规，生育补贴的申领通常以“用人单位已为职工缴纳生育保险”为前提。若劳务派遣公司依法为女员工缴纳了生育保险，且缴费时长满足当地要求（如连续缴纳6个月以上），则女员工有权通过派遣公司申领生育津贴、医疗费用报销等补贴，与用工单位（机关事业单位）性质无关。
   例外情形：若派遣公司未缴纳生育保险，或缴费时长不足，则女员工可能无法通过社保渠道申领补贴，但可依据《劳动合同法》第92条，要求派遣公司与用工单位承担连带赔偿责任，由用工单位实际支付补贴费用（需以双方派遣协议约定为前提）。

2. 地方政策差异的影响
   部分地区对机关事业单位劳务派遣人员的生育补贴有特殊规定。例如，某些省份明确要求用工单位（机关事业单位）需为派遣员工额外缴纳生育保险，或直接承担补贴支付义务；而另一些地区则完全遵循“社保缴纳主体决定资格”的原则。因此，需以当地人社部门发布的政策文件为准。
   建议行动：女员工可登录当地人社局官网，查询“生育保险实施细则”或“劳务派遣人员权益保障规定”，或直接拨打12333社保热线确认政策口径。

3. 实务操作中的关键证据
   无论通过何种途径申领补贴，女员工均需保留以下证据：

   • 与派遣公司签订的劳动合同（证明劳动关系）；
     
   • 社保缴费记录（证明生育保险缴纳情况）；
     
   • 医院出具的生育证明、费用清单（证明生育事实及费用）；
     
   • 派遣公司与用工单位签订的劳务派遣协议（如涉及用工单位责任，需提供复印件）。
     若派遣公司拒绝协助申领，女员工可向劳动监察大队投诉，或申请劳动仲裁要求履行义务。

总结：劳务派遣女员工能否申领生育补贴，核心取决于派遣公司是否依法缴纳生育保险及当地政策要求。建议优先通过社保渠道申领，若遇障碍及时收集证据并寻求法律救济。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作流程或政策解读。