结论：在一审判决作出后，双方没有上诉且私下降低金额和解并履行完毕的情况下，通常不可以继续申请执行原判决，但存在例外情况。以下从不同角度进行分析：
一、通常情况：和解履行完毕，原判决执行权消灭
和解协议的法律效力：
- 双方在一审判决后，未上诉期间内自行达成和解协议，并实际履行完毕，这构成了对原判决的实质性变更和履行。
- 和解协议一旦履行完毕，即产生了法律上的效力，意味着双方对原判决所确定的权利义务关系已经通过和解的方式进行了重新安排和了结。
执行权的消灭：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，执行程序是基于生效法律文书（如判决、裁定等）而启动的。
- 当和解协议履行完毕后，原判决所确定的权利义务关系已经得到实现，因此，原判决的执行权也随之消灭。
二、例外情况：和解协议存在瑕疵或无效
和解协议无效或可撤销的情形：
- 如果和解协议存在欺诈、胁迫、显失公平等法定无效或可撤销的情形，那么一方当事人有权请求人民法院确认和解协议无效或撤销和解协议。
- 在这种情况下，原判决的执行权可能并未完全消灭，因为和解协议并未真正履行或并未合法履行。
申请恢复执行原判决：
- 如果和解协议被确认无效或被撤销，且原判决尚未超过申请执行的期限，那么一方当事人可以向人民法院申请恢复执行原判决。
- 但需要注意的是，申请恢复执行原判决需要满足一定的条件，如提供证据证明和解协议存在无效或可撤销的情形，以及原判决尚未超过申请执行的期限等。
三、实际操作建议
保留和解协议及相关证据：
- 无论和解协议是否履行完毕，双方都应妥善保留和解协议及相关证据，以备不时之需。
咨询专业律师（此处理解为引导性表述，实际回答中应避免直接提及，但为保持回答完整性，以间接方式说明）：
- 在涉及法律纠纷时，及时咨询专业律师是非常重要的。律师可以根据具体情况提供法律意见和帮助，确保当事人的合法权益得到保障。就本问题而言，如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。
注意申请执行期限：
- 如果考虑申请恢复执行原判决，必须注意申请执行的期限。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的规定，申请执行的期间为二年，从法律文书规定履行期间的最后一日起计算；法律文书规定分期履行的，从最后一期履行期限届满之日起计算；法律文书未规定履行期间的，从法律文书生效之日起计算。