结论：父亲的车子母亲同意抵押是否有效，需根据具体情况判断，若母亲是车辆共有人或父亲明确授权母亲处理车辆抵押事宜，且符合法定程序，则抵押有效；若母亲未经授权擅自抵押且非车辆共有人，则抵押可能无效。以下从不同角度详细分析：
一、母亲是车辆共有人或受父亲明确授权的情况
共有人同意抵押：
- 如果车辆是父亲和母亲的共同财产，母亲作为共有人之一，有权对车辆进行处分，包括抵押。在此情况下，母亲同意抵押车辆是有效的，但通常需要父亲也一同签署抵押合同或出具同意抵押的书面文件，以确保抵押行为的合法性和有效性。
父亲明确授权母亲抵押：
- 如果车辆仅登记在父亲名下，但父亲明确授权母亲处理车辆抵押事宜，并出具了书面的授权委托书，那么母亲在授权范围内代表父亲签订的抵押合同是有效的。此时，抵押行为需符合法定程序，如办理抵押登记等。
二、母亲未经父亲授权擅自抵押且非车辆共有人
无权处分行为：
- 如果车辆仅登记在父亲名下，且母亲未经父亲授权擅自抵押车辆，这构成无权处分行为。根据《民法典》的相关规定，无权处分人签订的抵押合同效力待定，需要权利人（即父亲）的追认才能生效。
抵押合同效力：
- 若父亲事后对母亲的抵押行为进行追认，则抵押合同有效；若父亲拒绝追认，则抵押合同无效。此外，如果抵押权人在不知情且不应知情的情况下接受了母亲的无权处分，并且满足了抵押合同有效、已支付合理对价、已完成抵押登记等条件，则可能构成善意取得。但在此情况下，父亲仍有权向母亲追偿因此遭受的损失。
三、法律建议与注意事项
确保授权明确：
- 如果母亲需要代表父亲处理车辆抵押事宜，应确保获得父亲的明确授权，并出具书面的授权委托书。授权委托书应详细列明授权范围、期限等关键信息。
办理抵押登记：
- 无论车辆是共同财产还是仅登记在父亲名下，办理抵押登记都是保障抵押权人权益的重要步骤。未经登记的抵押权不得对抗善意第三人。
谨慎处理家庭财产：
- 在处理涉及家庭财产的问题时，应充分尊重并保护家庭成员的财产权。如需抵押财产，应事先获得财产所有人的明确同意，并确保抵押行为符合相关法律法规的规定。
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总结：父亲的车子母亲同意抵押是否有效，取决于母亲是否是车辆共有人或是否获得父亲的明确授权。在处理此类问题时，应确保抵押行为符合法定程序，并充分尊重和保护家庭成员的财产权。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。