公司开除第三方公司员工是否有赔偿，主要取决于开除的具体原因、合同类型以及相关法律法规的适用。以下是对这一问题的详细分析：
合同类型与赔偿责任
劳务派遣合同：
- 若员工与劳务派遣单位签订劳动合同，并被派遣到用工单位工作，此时用工单位与员工之间并不构成直接的劳动关系。
- 若用工单位因法定过错（如未提供劳动保护、未及时支付工资等）退回员工，劳务派遣单位在解除劳动合同时，通常需支付经济补偿。经济补偿的计算标准通常为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 若劳务派遣单位无故或违法解除劳动合同，则需支付赔偿金，赔偿金为经济补偿标准的两倍。
劳务外包合同：
- 若员工与外包公司存在劳动关系，并被外包公司安排到其他单位工作，此时员工与外包公司之间构成直接的劳动关系。
- 若外包公司无故开除员工，属于违法解除劳动合同，需支付赔偿金，赔偿金同样为经济补偿标准的两倍。
开除原因的合法性与赔偿责任
合法开除：
- 若员工因严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害等原因被开除，且这些情形在合同中有明确约定，通常无需支付经济补偿。
非法开除：
- 若公司无正当理由或违反法律规定解除劳动合同，如未按照法定程序解除劳动关系、无正当理由解除劳动关系等，则需支付经济补偿或赔偿金。
特殊情况下的连带责任
- 在劳务派遣关系中，若用工单位擅自将被派遣劳动者退回劳务派遣单位，给劳动者造成损害的，劳务派遣单位与用工单位需承担连带赔偿责任。这意味着，在这种情况下，员工不仅可以向劳务派遣单位要求赔偿，还可以向用工单位要求赔偿。
实际操作建议
- 对于员工而言，若被公司开除并认为公司存在违法行为或未按照合同约定支付经济补偿，应先与公司协商解决。
- 协商不成时，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付经济补偿或赔偿金。
- 若对仲裁结果不服，还可以向法院提起诉讼，以维护自身合法权益。
举例说明：
假设小张是一名与劳务派遣单位签订劳动合同的派遣员工，被派遣到某公司工作。后因该公司业务调整，将小张退回劳务派遣单位。若劳务派遣单位在没有合理理由的情况下解除了与小张的劳动合同，则劳务派遣单位应向小张支付经济补偿。若小张在劳务派遣单位工作了两年，月工资为6000元，则劳务派遣单位应向小张支付的经济补偿为：2年 × 6000元/月 = 12000元。若认定劳务派遣单位属于违法解除劳动合同，则还需向小张支付赔偿金，赔偿金为经济补偿标准的两倍，即24000元。
综上所述，公司开除第三方公司员工是否有赔偿，需根据具体情况判断，并依据相关法律法规进行处理。若您在此方面遇到法律问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。