结论：护士在私人诊所上班半月没有签订合同，这一行为通常是不合规的。以下从多个角度进行详细分析：
一、法律背景与规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。这是为了保障劳动者的权益，明确双方的权利和义务。对于未签订书面劳动合同的情况，法律有明确的处罚规定。
二、未签订合同的法律后果
双倍工资赔偿：
- 如果私人诊所未与护士签订书面劳动合同，且自用工之日起超过一个月不满一年，那么根据《劳动合同法》第八十二条的规定，诊所应当向护士每月支付二倍的工资。虽然本例中护士仅工作了半月，但这一规定体现了法律对未签订劳动合同行为的严厉打击态度，也警示用人单位应及时与劳动者签订合同。
劳动关系确认：
- 即使没有签订书面劳动合同，护士与私人诊所之间仍然存在事实劳动关系。这意味着，如果发生劳动争议，如工资支付、工伤赔偿等问题，护士仍然有权依法维护自己的权益。
行政处罚：
- 劳动行政部门有权对未签订劳动合同的用人单位进行处罚，包括责令改正、罚款等措施。这进一步强调了签订劳动合同的法定性和必要性。
三、特殊情况与考虑
试用期规定：
- 如果护士与私人诊所之间约定了试用期，那么试用期也应当包含在劳动合同期限内。试用期不是不签订劳动合同的借口，用人单位仍然需要在试用期内与劳动者签订书面劳动合同。
口头协议与书面合同的区别：
- 虽然口头协议在某些情况下可能具有法律效力，但在劳动关系中，书面劳动合同是更为可靠和明确的证据。口头协议容易引发争议和误解，不利于保护劳动者的权益。
四、建议与行动
与用人单位沟通：
- 护士可以首先与私人诊所的负责人进行沟通，明确提出签订书面劳动合同的要求。这是最直接和有效的解决方式。
寻求法律援助：
- 如果用人单位拒绝签订合同或存在其他违法行为，护士可以向当地的劳动监察部门投诉或寻求法律援助。劳动监察部门有权对用人单位进行调查和处罚，保护劳动者的合法权益。
保留证据：
- 在与用人单位沟通或寻求法律援助的过程中，护士应当保留好相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等。这些证据将有助于证明劳动关系的存在和用人单位的违法行为。
总结与进一步思考：签订书面劳动合同是用人单位和劳动者的法定义务，也是保障双方权益的重要手段。对于护士在私人诊所上班半月没有签订合同的情况，建议护士及时与用人单位沟通并要求签订合同。如果用人单位拒绝或存在其他违法行为，护士应当积极寻求法律援助并保留好相关证据。如果你有更多关于劳动工伤或合同纠纷的问题，可以直接向我咨询。