核心结论：员工入职9个月未签劳动合同被辞退，用人单位需支付双倍工资差额（8个月工资）及可能的违法解除赔偿金（2个月工资），具体分析如下：

一、未签劳动合同的双倍工资差额

1. 法律依据
   根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付双倍工资。

2. 计算方式

   • 员工入职9个月未签合同，用人单位需支付第2个月至第9个月（共8个月）的双倍工资差额。
     
   • 例如：员工月工资5000元，则用人单位需额外支付5000×8=40,000元。

3. 时效限制
   双倍工资差额的仲裁时效为1年，自员工知道或应当知道权利被侵害之日起计算（通常为离职后1年内）。

二、违法解除劳动合同的赔偿金

1. 是否构成违法解除

   • 若用人单位无法证明辞退理由合法（如严重违纪、不能胜任工作等），则属于违法解除，需支付赔偿金。
     
   • 若辞退合法（如员工严重违反规章制度），则无需支付赔偿金，但双倍工资差额仍需支付。

2. 赔偿金标准

   • 根据《劳动合同法》第87条，违法解除需支付2倍经济补偿金。
     
   • 经济补偿金按工作年限计算，每满1年支付1个月工资，6个月以上不满1年按1年计算。
     
   • 员工工作9个月，经济补偿金为1个月工资，赔偿金为2个月工资。
     
   • 例如：月工资5000元，则赔偿金为5000×2=10,000元。

三、综合补偿方案

1. 若用人单位违法解除

   • 总补偿=双倍工资差额（8个月工资）+赔偿金（2个月工资）=10个月工资。
     
   • 例如：月工资5000元，总补偿为50,000元。

2. 若用人单位合法解除

   • 总补偿=双倍工资差额（8个月工资）=8个月工资。
     
   • 例如：月工资5000元，总补偿为40,000元。

四、操作建议

1. 收集证据
   
   • 保留工资条、考勤记录、工作证、同事证言等证明劳动关系及工资标准的证据。
     
2. 协商或仲裁
   
   • 优先与用人单位协商，若协商不成，可在离职后1年内向劳动仲裁委员会申请仲裁。
     
3. 注意时效
   
   • 双倍工资差额和违法解除赔偿金的仲裁时效均为1年，需及时主张权利。

如有进一步疑问或需要具体计算，可直接向我咨询。