针对您工作一年九个月未签劳动合同且被辞退的情况，您可以依法要求用人单位支付相应的赔偿。以下是我为您详细梳理的赔偿项目和计算方式，以及维权途径的建议：
一、赔偿项目及计算方式
未签订书面劳动合同的双倍工资差额
- 法律依据：根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应向劳动者每月支付二倍的工资。
- 计算方式：从您用工满一个月的次日开始计算，至被辞退之日为止，共计20个月（但实际应支付的是超过一个月至一年内的部分，即11个月，不过您工作了一年九个月，所以其中8个月是未签合同的双倍工资差额计算期，因为前一个月不计算在内，且已满一年后视为已订立无固定期限劳动合同）。假设您的月工资为X元，则赔偿金额为8X元。
违法解除劳动合同的赔偿金
- 法律依据：依据《劳动合同法》第四十八条和第八十七条，用人单位违反规定解除或终止劳动合同，且劳动者不要求继续履行或合同无法继续履行的，应支付二倍经济补偿作为赔偿金。
- 计算方式：经济补偿按工作年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算。您工作了一年九个月，因此对应2个月工资的经济补偿，赔偿金则为4个月工资（即2个月工资的经济补偿标准的二倍）。假设您的月工资为X元，则赔偿金额为4X元。
主张补缴社会保险
- 法律依据：根据《社会保险法》，用人单位应在用工之日起三十日内为职工办理社会保险登记。未办理的，由社会保险经办机构核定应缴社会保险费。
- 具体操作：您可以要求用人单位补缴您工作期间的社会保险。若用人单位拒绝，可向社会保险费征收机构投诉，由其责令限期缴纳或补足。
二、维权途径
协商：
- 首先，您可以尝试与用人单位进行协商，要求其支付上述赔偿并补缴社会保险。
申请劳动仲裁：
- 如果协商不成，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，您需要提交书面申请及相关证据，如工资记录、工作证、考勤记录等，以证明您的劳动关系及被辞退的事实。
提起诉讼：
- 如果对仲裁裁决不服，您还可以向人民法院提起诉讼，通过法律途径进一步维护您的合法权益。
三、注意事项
- 固定证据：在维权过程中，您应注意收集和固定相关证据，如劳动合同（虽然未签，但其他能证明劳动关系的证据也可）、工资条、工作证、考勤记录、与用人单位的沟通记录等。
- 时效问题：您应及时采取行动，避免超过法定时效期限。一般来说，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从您知道或者应当知道权利被侵害之日起计算。
综上所述，您在工作一年九个月未签劳动合同且被辞退的情况下，有权要求用人单位支付双倍工资差额、违法解除劳动合同的赔偿金，并可主张补缴社会保险。在维权过程中，请遵循合法途径，并注意固定证据和时效问题。希望这些信息能对您有所帮助，如果您还有其他问题或需要进一步的法律指导，请随时咨询。