结论：员工因上班玩手机被批评后提出离职，具体处理方式需根据员工离职的意愿和劳动合同的约定来综合判断。以下是从不同角度给出的详细分析和建议。
一、员工主动离职的情况
员工自愿离职且无争议：
- 如果员工是自愿离职，并且双方对离职没有争议，那么公司可以按照正常流程办理离职手续，包括结算工资、办理社保转移等。
- 在此情况下，公司无需支付经济补偿金，除非劳动合同或公司规章制度中有特别约定。
员工提出离职但存在争议：
- 如果员工虽然提出离职，但对离职原因、工资结算、经济补偿等方面存在争议，公司应首先与员工进行协商，尝试达成一致意见。
- 若协商无果，员工可能会申请劳动仲裁。此时，公司应准备相关证据，如劳动合同、工资单、考勤记录、员工违纪记录等，以应对可能的仲裁或诉讼。
二、公司考虑解除劳动合同的情况
员工严重违纪：
- 如果公司规章制度中明确规定上班玩手机属于严重违纪行为，并且公司能够证明员工确实存在该行为，那么公司有权依据规章制度解除劳动合同。
- 在此情况下，公司无需支付经济补偿金，但应确保解除劳动合同的程序合法，如提前通知员工、听取员工申辩等。
员工不胜任工作：
- 如果员工因上班玩手机导致工作效率低下，无法胜任工作，公司可以考虑先对员工进行培训或调整工作岗位。
- 若培训或调岗后员工仍不胜任工作，公司可以依据《劳动合同法》的相关规定解除劳动合同，但需支付经济补偿金。经济补偿金的计算方式通常为：每工作一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
三、法律建议
完善公司规章制度：
- 公司应制定明确的规章制度，规定上班玩手机等违纪行为的处理方式和后果，以确保在处理类似情况时有法可依。
加强员工沟通和管理：
- 在员工出现违纪行为时，公司应及时与员工进行沟通，了解原因并尝试解决问题，而不是直接采取惩罚措施。
- 同时，公司应加强对员工的管理和培训，提高员工的工作效率和职业素养。
保留相关证据：
- 在处理员工离职或解除劳动合同等事宜时，公司应保留相关证据，如劳动合同、工资单、考勤记录、员工违纪记录等，以应对可能的仲裁或诉讼。
四、可能的法律后果
- 如果公司处理不当，如未按照规章制度或法律规定解除劳动合同，员工可能会申请劳动仲裁或提起诉讼，要求公司支付经济补偿金、赔偿金等。
- 因此，公司在处理类似情况时应谨慎行事，确保程序合法、证据充分。
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