当公交车上司机急刹车导致乘客摔倒受伤时，乘客确实有权进行索赔。以下是对这一问题的详细解答，包括责任主体、赔偿项目、赔偿计算方式以及赔偿流程等方面的内容。
一、责任主体
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，公交公司作为承运人，对乘客负有安全保障义务。因此，当公交司机在执行职务行为时因急刹车导致乘客受伤，应由公交公司承担侵权责任。如果事故是由第三方原因（如违规车辆或行人）造成的，公交公司在赔偿乘客后，有权向该第三方进行追偿。
二、赔偿项目及计算方式
赔偿项目主要包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住院伙食补助费、营养费等，若造成残疾或死亡，还应包括残疾赔偿金、残疾辅助器具费、丧葬费和死亡赔偿金等。具体计算方式如下：
医疗费：根据实际发生的医疗费用计算，包括挂号费、检查费、治疗费、药费等。赔偿数额按一审法庭辩论终结前实际发生的数额确定，后续治疗费可待实际发生后另行起诉或一并赔偿（需医疗证明或鉴定结论）。
误工费：根据受害乘客的误工时间和收入状况确定。有固定收入的，按实际减少的收入计算；无固定收入的，按最近三年平均收入计算；不能举证的，参照受诉法院所在地相同或相近行业上一年度职工平均工资计算。
护理费：根据护理人员的收入状况和护理期限确定。护理人员有收入的，参照误工费规定计算；护理人员无收入或雇佣护工的，按当地护工同等级别护理的劳务报酬标准计算。护理期限至受害人恢复生活自理能力时止，最长不超过二十年。
交通费：根据受害乘客及其必要陪护人员因就医或转院治疗实际发生的费用计算，需正式票据且与就医地点、时间、人数、次数相符。
住院伙食补助费：参照当地国家机关一般工作人员出差伙食补助标准确定。
营养费：根据受害乘客伤残情况参照医疗机构意见确定。
残疾赔偿金：根据丧失劳动能力程度或伤残等级，按受诉法院所在地上一年度居民人均可支配收入计算，自定残之日起按二十年计算（六十周岁以上每增加一岁减少一年，七十五周岁以上按五年计算）。
精神损害抚慰金（若造成严重精神损害）：根据侵权人的过错程度、侵害手段、场合、行为方式、后果、获利情况、经济能力及受诉法院所在地平均生活水平等因素确定。
三、赔偿流程
保留证据：乘客应记好公交车车号、驾驶员驾驶号及事故发生情况，妥善保留车票、医疗诊断证明、费用单据等证据。这些证据将用于证明事故发生经过和受伤程度，是后续索赔的重要依据。
与公交公司协商：乘客可与公交公司协商处理赔偿问题。在协商过程中，乘客应依据相关法律法规提出合理的赔偿要求，并保持沟通记录，可通过录音、录像等方式保留证据。若双方达成一致，应签订书面赔偿协议，明确权利义务和赔偿细节。
法律途径：如果协商不成，乘客可通过法律途径维权。可以向交通运输管理部门投诉公交公司的服务质量和安全问题，或者申请消费者协会、人民调解委员会等机构进行调解。若仍无法解决，乘客可向人民法院提起诉讼，明确被告为公交公司（如有必要，可将引发急刹车的第三方列为共同被告），并提供充分证据支持自己的主张。
在整个索赔过程中，乘客应了解自己的权利，合理合法地维权。同时，也应尊重公交公司的权益，通过协商和法律途径寻求问题的解决。保留好相关证据，明确赔偿要求，并依法进行索赔，是确保乘客权益得到有效保障的关键。