针对您工作九个月被辞退且没有签劳动合同的情况，您可以依法要求用人单位支付以下赔偿，并采取相应的维权措施：
未签订书面劳动合同的双倍工资差额
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 计算方式：从用工满一个月的次日开始计算，至被辞退之日为止。您工作了九个月，因此可以主张8个月的双倍工资差额。假设您的月工资为X元，则赔偿金额为 \(8 imes X\) 元。
违法解除劳动合同的赔偿金
- 法律依据：依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条，用人单位违反规定解除或终止劳动合同，且劳动者不要求继续履行或合同无法继续履行的，应支付二倍经济补偿作为赔偿金。
- 计算方式：经济补偿按工作年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算。您工作了九个月，因此对应1个月工资的经济补偿，赔偿金则为2个月工资。假设您的月工资为X元，则赔偿金额为 \(2 imes X\) 元。
主张补缴社会保险
- 法律依据：根据《中华人民共和国社会保险法》，用人单位应在用工之日起三十日内为职工办理社会保险登记。未办理的，由社会保险经办机构核定应缴社会保险费。
- 具体操作：您可以要求用人单位补缴9个月的社会保险。若用人单位拒绝，您可向社会保险费征收机构投诉，由其责令限期缴纳或补足。
维权途径与注意事项：
- 协商：首先，您可以尝试与用人单位协商，要求其支付上述赔偿并补缴社会保险。
- 申请劳动仲裁：若协商不成，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请时，请提交书面申请及相关证据，如工资记录、工作证、考勤记录等，以证明您的劳动关系及被辞退的事实。
- 提起诉讼：若对仲裁裁决不服，您还可以向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
- 固定证据：在维权过程中，您应注意收集和固定相关证据，这是证明您劳动关系及被辞退事实的关键。
- 时效问题：请务必及时采取行动，避免超过法定时效期限，以确保您的权益得到有效保护。
示例计算：
假设您的月工资为5000元，则：
- 双倍工资差额赔偿金额为：\(8 imes 5000 = 40000\)元。
- 违法解除劳动合同的赔偿金为：\(2 imes 5000 = 10000\)元。
因此，您总共可以主张的赔偿金额为50000元，并可要求用人单位补缴9个月的社会保险。
最后，我建议您在维权过程中保持冷静和理性，遵循合法途径，并注意固定证据和时效问题。如果您在维权过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会尽我所能为您提供专业的法律帮助。