可以投诉。以下从不同角度为你详细分析：
- 从法律规定的角度
- 根据《中华人民共和国社会保险法》第五十八条规定，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。未办理社会保险登记的，由社会保险经办机构核定其应当缴纳的社会保险费。这意味着，只要劳动者与用人单位建立了劳动关系，用人单位就有义务为劳动者缴纳社会保险，这是法定的强制性义务，不因任何原因而免除。
- 在你的情况中，你换了一家新公司，与新公司建立了劳动关系，新公司就应当按照法律规定为你购买保险。如果新公司不肯购买，明显违反了上述法律规定。
- 从投诉途径的角度
- 向当地劳动监察部门投诉：劳动监察部门是负责监督用人单位遵守劳动法律法规的行政机关。你可以携带与新公司存在劳动关系的证明材料，如劳动合同、工资条、工作证等，前往当地劳动监察大队进行投诉。劳动监察部门在接到投诉后，会进行调查核实，如果情况属实，会责令新公司限期为你补缴社会保险，并可能对新公司进行相应的行政处罚。
- 向社会保险经办机构举报：社会保险经办机构负责社会保险的登记、征缴等工作。你也可以向当地的社会保险经办机构举报新公司不为你缴纳社会保险的行为。社会保险经办机构会根据相关规定进行处理，督促新公司履行缴费义务。
- 从后续维权的角度
- 如果通过投诉和举报后，新公司仍然拒绝为你缴纳社会保险，你还可以考虑通过申请劳动仲裁的方式来维护自己的合法权益。你可以向劳动合同履行地或者用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求新公司为你补缴社会保险，并可能要求新公司承担因未缴纳社会保险给你造成的损失，如无法享受社会保险待遇等。
在处理此类问题时，要注意保留好与新公司存在劳动关系的证据，以便在投诉、举报或仲裁过程中能够充分证明自己的主张。如果你在处理过程中遇到任何疑问或需要进一步的帮助，可以直接向我咨询。