针对您工作4个月但公司未签订劳动合同，且老板不愿赔偿双倍工资的情况，以下是我为您提供的详细解答和建议：
一、法律依据与赔偿原则
根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，公司若超过一个月未与劳动者签订书面劳动合同，需自第二个月起至满一年前一日止，每月向劳动者支付二倍工资作为赔偿。这是您维权的主要法律依据。
二、赔偿计算
- 宽限期：法律给予公司一个月的时间来与您签订书面劳动合同，此期间无需支付双倍工资。
- 赔偿期限：您已工作4个月，因此公司需从第二个月开始至第四个月，向您额外支付这三个月的工资作为二倍工资的赔偿。即，您应获得4个月的正常工资加上3个月的二倍工资赔偿，但实际操作中，二倍工资赔偿是额外支付的，所以总计是您应得工资加上3个月的赔偿工资（相当于总共7个月的工资额中，有3个月是赔偿部分）。不过，从表述清晰的角度，我们通常说公司需支付您“未签合同期间的双倍工资差额”，即3个月的工资作为赔偿（因为第一个月是宽限期，不计算双倍）。
三、维权步骤
与公司协商：
- 首先，尝试与公司的人力资源部门或管理层进行友好沟通，明确指出公司未签订劳动合同的违法行为，并要求支付应得的二倍工资赔偿，同时要求立即补签劳动合同。
- 协商过程中，保持冷静和理性，详细记录沟通过程，如聊天记录、邮件往来等，以备后续可能需要。
收集证据：
- 若协商无果，您需要着手收集能证明劳动关系存在的证据，包括工资支付凭证（如银行转账记录）、工作证、考勤记录、同事证言、工作邮箱往来、项目报告等。
- 确保所有证据真实、完整，并能有效支持您的劳动关系主张。
向劳动监察部门投诉：
- 携带准备好的证据材料，向当地劳动监察部门投诉举报公司的违法行为。
- 劳动监察部门将进行调查，并根据实际情况给出处理意见，可能包括责令公司改正、罚款或赔偿等。
申请劳动仲裁：
- 若投诉未取得满意结果，您可以在知道或应当知道自己权利被侵害之日起一年内，向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 准备并提交仲裁申请书，明确个人信息、公司信息、具体的仲裁请求（如要求支付双倍工资差额、补签劳动合同等），并附上全部证据材料。
- 参与仲裁庭审，清晰陈述主张并提供确凿证据。
提起诉讼：
- 若对仲裁结果不满意，您可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
- 继续提供证据，恳请法院作出公正判决。
四、附加建议
- 时效问题：务必注意申请劳动仲裁的时效为一年，自知道或应当知道权利被侵害之日起计算。因此，及时采取行动至关重要。
- 证据保存：在整个维权过程中，精心收集和妥善保管所有相关证据是支持您主张的关键。
- 寻求专业帮助：如对法律程序不熟悉或感到困惑，建议咨询专业律师或法律援助机构，获取针对性的法律建议和指导。
综上所述，面对公司未签订劳动合同且不愿赔偿双倍工资的情况，您应积极主动采取措施保护自身权益。通过协商、投诉、劳动仲裁或法律途径，您可以要求公司支付相应的赔偿，并确保签订正式的劳动合同。希望这些建议能对您有所帮助。